Cara menghitung jarak $k=0$ kode stabilizer?
Hal ini dapat dilihat sebagai tindak lanjut dari pertanyaan “ Bagaimana cara menghitung jarak kode stabilizer? ”. Meringkas jawaban yang diterima: jarak adalah bobot minimum himpunan$$E = \bigl\{e : e \not \in S, e \in \mathrm{Nor}(P_N,S)/(\pm I) \bigr\}$$ dimana $S$ adalah grup stabilizer (dihasilkan oleh $K_n$ada di pertanyaan sebelumnya), dan $\mathrm{Nor}(P_N,S)$ adalah penormal dalam kelompok tatanan Pauli $2^{2N+1}$ (dimana $N$= jumlah qubit; menggunakan versi grup yang sebenarnya di sini).
Pertanyaan saya adalah sebagai berikut: apakah ini berlaku $k=0$kode stabilizer? Saya menduga itu tidak selalu berlaku tetapi tidak dapat menemukan referensi untuk itu ... tampaknya berfungsi untuk kebanyakan kasus, tetapi beberapa contoh penghitung sederhana juga mudah ditemukan: ambil status GHZ$\tfrac{1}{\sqrt 2}\bigl(\lvert00\rangle + \lvert11\rangle\bigr)$, dengan $K_1=X_1X_2$ dan $K_2=Z_1Z_2$. Pada kasus ini,$\mathrm{Nor}(P,S)=\pm S$, jadi setnya $E$kosong. Sesuatu jelas rusak dalam proses ini: Saya pikir jaraknya harus 2. Apa yang terjadi di sini?
Jawaban
Perhatikan bahwa dalam kasus ini $k = 0$, 'kode' penstabil adalah a $2^0 = 1$dimensi subruang dari ruang Hilbert, artinya terdiri dari keadaan stabilizer tunggal. Ini akan memiliki efek sebaliknya pada fitur-fitur seperti 'jarak' kode.
"Jarak kode" pada akhirnya didefinisikan dalam istilah bobot minimum operator Pauli $E$ yang tidak 'dapat dideteksi' (maksud saya, dapat dibedakan dari identitas) menurut kondisi Knill – Laflamme: $$ \langle \psi_j \rvert E \lvert \psi_k \rangle = C_E \delta_{j,k} $$ dimana $\lvert \psi_j \rangle, \lvert \psi_k \rangle$adalah status dalam kode. Dalam kasus subruang 1 dimensi, hanya ada satu keadaan$\lvert \psi \rangle =: \lvert \psi_0 \rangle$. Demikianlah yang akan kami ambil$j,k \in \{ 0 \}$, sehingga $\delta_{j,k}$ istilah selalu sama dengan $1$. Tapi itu berarti hanya dengan mendefinisikan$C_E = \langle \psi \rvert E \lvert \psi \rangle$, kondisi Knill – Laflamme selalu terpenuhi. Jadi, 'jarak' kode ditentukan untuk a$k = 0$ kode stabilizer sebagai minimum di atas set kosong.
Menggunakan pendekatan yang kurang abstrak untuk kode stabilizer, dengan mempertimbangkan bobot operator Pauli yang berada dalam penormal kode, ingatlah bahwa kita berbicara tentang operator yang memetakan ruang kode itu sendiri, tetapi tidak proporsional dengan a anggota kelompok stabilizer. Tapi untuk$k = 0$ operator yang memetakan negara $\lvert \psi \rangle$untuk dirinya sendiri tentu sebanding dengan stabilisator, jadi tidak ada operator seperti itu. Sekali lagi, kami mempertimbangkan bobot minimum di atas satu set operator yang kosong.
Menurut konvensi Anda, mungkin masuk akal untuk membicarakan jarak sebagai tidak terbatas ; tetapi dalam praktiknya akan lebih baik untuk mengatakan bahwa jaraknya tidak ditentukan.
Di koran klasik https://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608006.pdf, di halaman 10, jarak dari sebuah $[n,0]$kode didefinisikan sebagai bobot terkecil bukan nol dari penstabil mana pun dalam kode. Penafsiran fisik untuk definisi yang diberikan ini adalah, "An$[[n, 0, d]]$ kode adalah keadaan kuantum sedemikian rupa, ketika mengalami dekoherensi $[(d − 1)/2]$ koordinat, dimungkinkan untuk menentukan dengan tepat koordinat mana yang dipisahkan. "