Cembung lokal berarti konveks?
Ada pertanyaan tentang himpunan cembung.
Membiarkan $\Omega\subset\mathbb R^n$menjadi set terbuka dan terhubung. Jika ada$x\in\overline{\Omega}$, ada sebuah lingkungan $U_x$ seperti yang $\Omega\cap U_x$ adalah cembung $\Omega$ adalah cembung.
Secara intuitif, jika $\Omega$ tidak cembung, harus ada titik $\partial\Omega$ seperti yang $\Omega$tidak konveks secara lokal. Tapi saya tidak tahu bagaimana menulisnya dengan jelas. Terima kasih atas bantuan Anda.
Jawaban
Saya akan mengikuti bukti teorema dari jawaban di posting ini . Jawaban yang diterima dalam posting tersebut di atas jauh lebih bersih tetapi bergantung pada beberapa ide dari analisis fungsional abstrak untuk menggeneralisasi hasilnya ke ruang vektor topologi yang sewenang-wenang, yang secara pribadi saya temukan sangat menyedihkan. Bukti yang saya sajikan lebih pada sisi konkrit, analisis keras.
Cukup untuk menunjukkan hasil untuk berbatas $\Omega$, karena set cembung ditutup di bawah rantai naik (hanya berpotongan $\Omega$dengan bola terbuka dengan radius yang meningkat). Oleh lemma yang menutupi Lebesgue , ada$\epsilon > 0$ seperti itu untuk setiap $x \in \overline\Omega$, disana ada $y \in \overline\Omega$ seperti yang $B_\epsilon (x) \subseteq U_y$, khususnya $B_\epsilon (x) \cap \Omega$adalah cembung. Dengan kata lain,$\Omega$adalah seragam lokal cembung.
Ingat terbuka terhubung menyiratkan jalan terhubung dan $\overline{\Omega \cap U_x}$ cembung, jadi $\overline \Omega$adalah jalur yang terhubung ( ini tidak benar secara umum! ). Fungsi panjang jalur, diberikan oleh$$\text{length}(\gamma) = \sup_{\Pi} \sum_{i} |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i + 1})|$$ dimana supremum diambil alih partisi $\Pi$ dari apa pun domain jalur kontinu $\gamma: [a, b] \to \overline \Omega$, lebih rendah semikontinu sebagai supremum fungsi kontinu.
Memperbaiki $x, y \in \overline\Omega$, kemudian berdebat dengan Arzela-Ascoli dan parametrization arclength (lih. misalnya posting ini ), ada jalur$\gamma : [0, 1] \to \overline\Omega$ dengan panjang minimum antara $x$ dan $y$. Kami mengklaim itu$\gamma$ adalah garis lurus, yang akan membuktikan konveksitas $\overline\Omega$ dan karena itu interiornya $\Omega$.
Dengan kesinambungan yang seragam, kita dapat menemukannya $n \in \mathbb N$ cukup besar seperti itu $$ |\gamma(i/2^n) - \gamma((i + 1)/2^n)| < \epsilon $$ untuk semua $i = 0, \dots, 2^n - 1$. Untuk singkatnya, sebutkan$a_i = \gamma(i/2^n)$. Kita punya$a_i \in \overline\Omega$ dan $a_{i - 1} , a_{i + 1} \in B_\epsilon (a_i)$. Sejak$\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$ adalah cembung (ikuti bukti biasa yang menunjukkan set cembung ditutup di bawah penutupan), ada garis di antaranya $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ di $\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$, sebut saja $\Gamma_i$. Tapi kemudian kita bisa parametrize$$ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) \cup \Gamma_i \cup \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) $$ sebagai jalan dari $x$ untuk $y$ di $\overline\Omega$ yang memiliki panjang $$ \text{length} \ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) + |a_{i + 1} - a_{i - 1}| + \text{length} \ \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) \geq \text{length} (\gamma). $$ Mengatur ulang, $$ |a_{i + 1} - a_{i - 1}| \geq \text{length} \ \gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n]). $$ Tapi tentu saja, garis lurus adalah jalur terpendek yang unik di ruang Euclidean, jadi ini menyiratkan bagian dari jalur tersebut. $\gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n])$lurus. Berdebat untuk masing-masing$i$ memberitahu kami $\gamma$ sebenarnya adalah garis lurus, melengkapi bukti.
Sunting (teknis kecil): tidak sepenuhnya jelas bahwa jalur yang dapat diperbaiki (yaitu panjang terbatas) ada di antara dua titik mana pun, tetapi ini mengikuti dari kontinuitas seragam + argumen konveksitas lokal dari bagian akhir pembuktian, yang untuk jalur arbitrer memungkinkan kita untuk membangun jalur sedikit demi sedikit linier (sering disebut "poligonal") di$\overline\Omega$antara dua titik, yang jelas memiliki panjang yang terbatas. Adanya konstruksi ini sering kali nyaman digunakan dalam analisis yang kompleks, dan tentunya dalam skenario ini.