Diagram simpul non-bolak-balik

Question

(Saya menanyakan ini di MSE beberapa hari yang lalu tanpa resolusi yang jelas.)

Mulailah dengan kurva tertutup yang berpotongan sendiri, di mana setiap persimpangan melintang. Sekarang bentuklah kebalikan dari diagram simpul bergantian sebagai berikut. Mulai dari mana saja, lintasi kurva, dan di setiap persimpangan yang belum pernah dikunjungi, lewati ke atas. Jika penyeberangan telah dikunjungi sebelumnya, tinggalkan peruntukan penyeberangan yang telah ditetapkan.

Dua contoh ditunjukkan di bawah ini. (a) jelas merupakan unknot. (b) juga merupakan unknot, mungkin tidak sejelas itu.

---

^{Lingkaran merah menunjukkan titik awal, panah arah traversal.}

---

Saya berharap diagram ini secara jelas mewakili unknot, tetapi saya tidak melihat bukti yang jelas. Begitu:

Q . Buktikan (atau sangkal) bahwa diagram simpul seperti itu selalu merepresentasikan unknot.

Answer 1

Mari kita parameter kurva bidang dengan $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ dan berasumsi $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Maka kurva Anda adalah diagram simpul dari simpul yang diparameter oleh$K:[0,2]\to\mathbb R^3$ diberikan oleh $$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(pada dasarnya, bayangkan Anda menangguhkan simpul Anda pada sebatang kayu, sehingga tali itu turun dengan kecepatan yang seragam.) Kemudian kita bisa "melepas" simpul ini. Yakni, sejak$\gamma$ hanya melalui $(0,0)$ di titik akhir, kita bisa menulis $\gamma(t)$ dalam koordinat kutub oleh $(r(t),\phi(t))$ dengan $r,\phi$ terus menerus $(0,1)$. Kemudian kita bisa melepaskan ikatan$K$ dengan urutan simpul berikut $K_s$, yang dimulai dengan unknot dan diakhiri dengan $K$, ditulis dalam koordinat silinder: $$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$