Diberikan persamaan kelengkungan, bagaimana seseorang menemukan keluarga persamaan parametrik yang cocok?
Saya telah melihat beberapa pertanyaan & jawaban di sini untuk kasus khusus dalam menemukan persamaan parametrik untuk kelengkungan tertentu. Misalnya; Temukan persamaan parametrik untuk kurva dengan kelengkungan yang diberikan . Namun saya khawatir saya tidak memahami proses umumnya. Bisakah seseorang membimbing saya melalui proses tersebut?
Saya peduli dengan persamaan parametrik bentuk
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Oleh karena itu memiliki kelengkungan yang ditandatangani
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Pertanyaanku adalah
Diberikan persamaan untuk $\kappa(s)$, bagaimana Anda menemukan keluarga solusi untuk $\gamma(s)$?
Saya berasumsi ada kurva unik yang memuaskan $\kappa(s)$, meskipun solusi akhirnya akan memiliki tiga konstanta, $x_0$, $y_0$, dan $\theta$, yang akan menyandikan terjemahan dan rotasi sewenang-wenang (atau beberapa padanan) dari kurva tersebut, karena, secara intuitif, kelengkungan tidak peduli dengan terjemahan atau rotasi dari keseluruhan kurva.
Sebagai catatan terakhir, saya hanyalah seorang mahasiswa yang terlalu optimis, dan karena itu saya hanya secara akademis berurusan dengan persamaan diferensial orde pertama dan hanya memiliki kelengkungan otodidak. Terlepas dari itu, saya secara konseptual memahami masing-masing. Karena itu, saya menghargai jawaban yang kira-kira sesuai dengan tingkat pemahaman saya.
Jawaban
Tidak hanya ada rotasi dan translasi yang berubah-ubah, tetapi juga refleksi dan parametrisasi kurva. Jadi, pertama-tama, ambil parameterisasi panjang ar standar di mana definisi kelengkungan menjadi$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ dimana $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ adalah vektor tangen dan $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$adalah 'vektor' normal. Yang terakhir hanya didefinisikan sampai tanda, jadi seseorang harus memilih salah satunya secara sewenang-wenang. Ini memperbaiki kurva yang tidak kidal, yaitu refleksi.
Maka persamaan diferensial yang harus diselesaikan adalah $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Sebagai persamaan orde kedua, ini seharusnya memberikan empat konstanta integrasi, tetapi ada batasan panjang arang $(x')^2+(y')^2=1$, jadi sebenarnya hanya tersisa tiga konstanta: dua untuk terjemahan, dan satu untuk rotasi.
Seperti yang telah saya nyatakan, "Saya hanya secara akademis berurusan dengan persamaan diferensial orde pertama" , jadi jawaban atas pertanyaan saya sendiri ini mungkin dipenuhi dengan kekurangan, tetapi ini (saya yakin) adalah bentuk umum yang saya cari. Terima kasih banyak kepada Chrystomath atas wawasannya.
Jika $(x')^2+(y')^2=1$, kemudian
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Juga, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Membiarkan $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Dengan logika serupa, berikut ini
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Oleh karena itu, persamaan parametrik dapat ditemukan (secara konvensional bertukar $\sin$ dan $\cos$) menjadi
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Lihatlah, seperti yang dinubuatkan oleh Chrystomath: tiga konstanta (dua untuk terjemahan dan satu untuk rotasi), dan pantulan (ditunjukkan oleh $\pm$)!