Ekspansi Laurent dari akar kuadrat

Aug 17 2020

Saya memiliki masalah dua bagian berikut:

(a) Buktikan itu $(z^2 - 1)^{-1}$ memiliki akar kuadrat analitik $\mathbb{C} - [-1,1]$

(b) Tentukan perluasan Laurent dari akar kuadrat analitik dari bagian (a) pada sebuah domain $\{a: |z| > 1 \}$, berpusat di $z = 0$.

Untuk bagian (a), saya perhatikan bahwa transformasi mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ memetakan $\mathbb{C} - [-1,1]$ ke $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Sejak$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ hanya terhubung dan $F$ tidak nol $\mathbb{C} - [-1,1]$, kita dapat mendefinisikan cabang analitik bernilai tunggal dari $\sqrt{F(z)}$ di $\mathbb{C} - [-1,1]$. Kemudian, dengan perhitungan yang cepat

$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$

adalah akar kuadrat analitik dari $(z^2 - 1)^{-1}$ di $\mathbb{C} - [-1,1]$.

Namun, saya tidak tahu bagaimana melakukan bagian (b). Bantuan apa pun akan dihargai.

Jawaban

Matematleta Aug 17 2020 at 09:24

Menurut bagian $(a)$ karena $|z|>1$, jika $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ kita dapat menggunakan cabang utama dari logaritma, dan memilih $\sqrt {w^2}=w.$ Lalu, dengan $Z=1/z^2$ dan mencatat bahwa teorema binomial berlaku untuk $|z|>1,$ kami menghitung

$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$

$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$

Jika $\theta$ terletak pada sumbu nyata negatif, lalu pilih potongan cabang yang sesuai dan ulangi perhitungan di atas untuk $0<\theta<2\pi$.

Saya juga berpikir kita bisa mendapatkan $(a)$dengan cara dasar. Kami memiliki definisi,

$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Fungsi ini memiliki titik cabang di$1$ dan $-1$ tapi tidak $\infty$ jadi kami dapat menerapkan diagram

pengaturan $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ dan $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ dan $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$

dan membuktikan analititas dengan kalkulasi langsung.