Energi ekstra dalam sistem pegas massa ganda

Question

Di bawah ini adalah sistem pegas massa ganda yang ditempatkan pada permukaan halus (tanpa gesekan), mari kita asumsikan konstanta pegas sebagai $k$ pada kasus ini.

Sekarang jika kita membuat ekstensi kecil di pegas nilai $x_o$, dua massa akan melakukan gerakan harmonik sederhana (SHM) secara individual dengan amplitudo $A_1$ dan $A_2$ masing-masing seperti itu $A_1$ + $A_2$ = $x_o$. Sekarang energi total dari sistem tersebut diberikan oleh$\frac{1}{2}kx_o^2$ dan energi osilasi masing-masing akan menjadi $\frac{1}{2}kA_1^2$ dan $\frac{1}{2}kA_2^2$. Tapi$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Jadi untuk apa energi ekstra ini digunakan? Jelas itu tidak digunakan untuk SHM karena tidak berada di bawah energi osilasi individu massa. Jadi saya tidak tahu untuk apa itu digunakan!

Saya punya pertanyaan lain juga. Energi kinetik maksimum individu mereka terkait sebagai berikut:$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, dimana $v_1$ dan $v_2$adalah kecepatan maksimum massa individu. Tetapi energi kinetik maksimum tubuh yang melakukan SHM harus sama dengan energi potensial maksimumnya! Begitu$\frac{1}{2}kA_1^2$ harus sama dengan $\frac{1}{2}mv_1^2$ dan serupa $\frac{1}{2}kA_2^2$ harus sama dengan $\frac{1}{2}Mv_2^2$. Tapi ini akan bertentangan dengan persamaan kita itu$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Jadi saya agak bingung dengan apa yang terjadi di sini!

Jadi adakah yang bisa menjelaskan ini kepada saya?

Answer 1

Anda harus menganalisis kedua massa bersama sebagai satu sistem SHM - Anda tidak dapat memisahkannya menjadi dua komponen SHM independen.

Misalkan kita mulai dengan pegas pada panjang alami dan massa geraknya $m$ ke kiri dengan jarak $x_1$ dan massa $M$ ke kanan dengan jarak $x_2$. Gaya yang diberikan pegas pada kedua massa adalah sekarang$k(x_1+x_2)$. Jadi jika kita memindahkan massa$m$ dari $x_1=0$ untuk $x_1=A_1$ dan kami memindahkan massa $M$ dari $x_2=0$ untuk $x_2=A_2$ maka total energi yang tersimpan di pegas tersebut

$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$

dimana $y=x_1+x_2$, dan

$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$

jadi tidak ada "energi ekstra".

Saat kita melepaskan massa persamaan gerak massa $m$ aku s

$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

dan untuk misa $M$ ini

$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$

Menambahkan ini bersama-sama kita dapatkan

$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$

dimana $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, dan $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Begitu

$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Demikian pula

$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$

Ketika pegas kembali ke panjang aslinya, $y=0$ dan $\cos \sqrt{k'}t = 0$ begitu $\sin \sqrt{k'}t = 1$. Jadi energi kinetik dari sistem tersebut adalah

$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$

Dengan kata lain, semua energi potensial yang tersimpan di pegas telah diubah menjadi energi kinetik, seperti yang diharapkan.

Answer 2

Membiarkan $x$ menjadi besarnya perpindahan maksimum dari posisi kesetimbangan massa $m$ dan $X$ menjadi besarnya perpindahan maksimum dari posisi kesetimbangan massa $M$.

Konservasi momentum untuk sistem membutuhkan $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.

Untuk sistem ini frekuensi alami osilasi diberikan oleh $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.

Energi kinetik maksimum dari sistem ini adalah $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.

Menempatkan nilai $\omega^2$ dan mengalikan menghasilkan energi kinetik sebagai

$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.

Analisis yang lebih umum dapat dilakukan untuk menunjukkan bahwa energi total sistem adalah konstan.