Evaluasi batasnya $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

Bagaimana Anda mengevaluasi batas urutan ini menggunakan teorema pemerasan / sandwich? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Saya tidak tahu harus mulai dari mana. Saya sudah mencoba menggunakan fakta itu$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (yang merupakan jawaban yang benar) tetapi saya tidak tahu harus pergi ke mana setelah itu.

Terima kasih!

Answer 1

Kami punya itu

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

kemudian akhiri dengan teorema squeeze.

Answer 2

Kamu dapat memakai $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Dengan logaritma: tulis ulang ekspresi sebagai $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ Istilah pertama adalah $3$. Yang kedua memiliki batasan yang mudah:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ dan oleh karena itu, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Cara yang sedikit berbeda adalah mengambilnya $3^n$ dari $(3^n+1)^{1/n}$, itu adalah $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Sekarang perhatikan itu $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ untuk setiap $n\in \mathbb N $, oleh karena itu membatasi ketidaksetaraan yang kita dapatkan $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ sehingga $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Mempertimbangkan $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ sekarang memengaruhi logaritma ke kedua sisi:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ jelas jika $n$ pergi ke tak terbatas kita bisa menghilangkan 1 di dalam logaritma maka kita dengan mudah mendapatkan: $\ln{y} = \ln 3$ kapan $n$pergi ke tak terbatas. jadi jawabannya adalah:$$y = 3$$

Answer 6

Dimana $n$ cukup besar $3^n$ jauh lebih besar dari itu $1$, yang dapat diabaikan (kita dapat memperhatikannya $100000000000000000000$ dan $100000000000000000001$ adalah "hampir" sama).

Begitu $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ oleh fakta itu $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ dengan cepat dan sisanya bisa dilakukan dengan mudah.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$