Fungsi pembangkit momen dari dua variabel acak

Question

Membiarkan $X$ dan $Y$ menjadi variabel acak independen dengan fungsi pembangkit momen masing-masing

$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ dan $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $

Kemudian $ P(X+Y = 1) $sama

Saya tahu bahwa menggunakan fungsi pembangkit momen kita dapat menemukan probabilitas

$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$

Membandingkan mgf ini kita bisa mendapatkan probabilitas tertentu. Tapi bagaimana kita melakukan pertanyaan ini?

Answer 1

Petunjuk: $X$ dan $Y$adalah variabel acak bernilai integer non-negatif. Karenanya$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ Sekarang perhatikan itu $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. Sejak$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ kami melihat itu $P(X=0)$ dan $P(X=1)$ adalah koefisien dari $e^{0t}$ dan $e^{t}$. Bisakah kamu menyelesaikannya?

Answer 2

Diketahui bahwa jika $X\sim Bin(n,p)$ kemudian $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. Jadi$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ dan $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. Dari sini,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ dan dibiarkan mengganti semua angka dalam rumus untuk distribusi Binomial.