Jejak operator dalam kuantisasi Kontsevich

Question

Dalam kuantisasi, seseorang mempelajari peta dari fungsi pada ruang fase hingga operator yang bekerja di ruang Hilbert. Mari kita perbaiki satu peta dan menyebutnya$Q$.

Kuantisasi deformasi didasarkan pada gagasan itu $Q$ dapat dipelajari secara tidak langsung, dengan memberikan ruang vektor linier dari fungsi-fungsi di atas ruang fase dengan hasil kali bintang non-komutatif:

$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$

Kontsevich memberikan rumus eksplisit untuk perkalian bintang yang dapat diterapkan pada setiap ruang fase kompak dan memberikan aljabar asosiatif dengan perilaku yang benar di$\hbar \rightarrow 0$membatasi. Oleh karena itu, sering diklaim bahwa formula Kontsevich memecahkan masalah lama dalam membuktikan bahwa setiap lipatan simplektis kompak mengakui suatu kuantisasi.

Namun, unsur penting lainnya dari Mekanika Kuantum adalah jejak seorang operator. Jejak penting untuk membuat prediksi fisik, yaitu nilai ekspektasi dari yang dapat diamati adalah jejak dari operator terkait dikalikan dengan matriks kerapatan.

Rumus Kontsevich tidak memberi saya peta kuantisasi, hanya produk bintangnya. Jadi bagaimana cara menghitungnya$\text{tr} Q(f)$ dengan hanya mengetahui $f$?

Satu kemungkinan jawaban yang saya lihat adalah rumus klasik berlaku: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$

Sini $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ adalah bentuk volume yang terkait dengan bentuk simplektis $\omega$, dan integral berada di atas ruang fase.

Tetapi saya belum pernah mendengar orang mengatakan secara pasti bahwa memang integral ruang fase ini adalah mitra dari jejak operator dalam kuantisasi deformasi, dan saya tidak dapat memberikan argumen yang baik untuk menunjukkannya. $\mathcal{O}(\hbar)$ koreksi tidak muncul.

Pertanyaan saya adalah:

1. Melakukan $\mathcal{O}(\hbar)$ koreksi ke integral ruang fase muncul secara umum?
2. Jika ya, apakah ada rumus eksplisit untuk pelacakan?
3. Jika tidak, bagaimana saya meyakinkan diri sendiri tentang hal itu?

Answer 1

Wikipedia mengatakan properti berikut untuk secara unik menentukan operasi pelacakan (hingga kelipatan skalar):

1. $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
2. $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
3. $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$

Untuk linier apa pun $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ akan memenuhi ketiga properti tersebut. $\int f d\Omega $secara jelas memenuhi (1) dan (2). Untuk (3), kami ingin menunjukkan itu$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa file$O(1)$ dan $O(\hbar)$ istilah menghilang untuk cukup bagus $f,g$(menggunakan integrasi berdasarkan bagian dan kesetaraan bagian campuran). Namun, saya tidak cukup memahami grafik Kontsevich untuk secara percaya diri memperluas argumen ini ke pesanan yang lebih tinggi$\hbar$. Jika Anda dapat menemukan referensi atau penjelasan, beri tahu saya. Dengan asumsi argumen meluas, kami menemukan itu$\mathrm{tr} Q(f)$ dan $\int f d\Omega $ setara dengan kelipatan skalar.

Nilai harapan diberikan oleh $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, sehingga kami dapat memilih untuk menormalkan operasi penelusuran kami sedemikian rupa $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$Ini seharusnya cukup untuk menentukan semua fisika secara unik. Anda bisa mendefinisikannya dalam$O(\hbar)$ suku dalam rumus integral asli, tetapi setelah Anda menormalkan matriks kerapatan Anda, itu tidak memiliki efek fisik.