Jika $T_t$ adalah aliran yang dihasilkan oleh kecepatan otonom $v$ dan $\left.v\right|_{\partial\Omega}=0$, kemudian $T_t(\partial\Omega)=\partial\Omega$
Membiarkan $d\in\mathbb N$ dan $v\in C_c^\infty(\mathbb R^d,\mathbb R^d)$. Kami tahu itu, untuk semua$\tau>0$, ada solusi unik $X^x\in C^0([0,\tau],\mathbb R^d)$ dari \begin{align}X'(t)&=v(X(t))\tag1&\text{for all }t\in[0,\tau],\\X(0)&=x\end{align} untuk semua $x\in\mathbb R^d$. Sangat mudah untuk menunjukkannya$$T_t(x):=X^x(t)\;\;\;\text{for }t\in[0,\tau]$$ adalah $C^1$-diffeomorphism dari $\mathbb R^d$ ke $\mathbb R^d$.
Sekarang biarkan $\Omega\subseteq\mathbb R^d$. Bagaimana kami bisa menunjukkan itu,
- jika $\left.v\right|_{\partial\Omega}=0$, kemudian $$T_t(\partial\Omega)=\partial\Omega\tag2$$ untuk semua $t\in[0,\tau]$?
- jika $\Omega$ ditutup atau terbuka, lalu $$T_t(\Omega)=\Omega\tag3$$ untuk semua $t\in[0,\tau]$?
Jelas bagi saya bahwa homeomorfisme memetakan batas (interior) menunjuk ke titik batas (interior). Saya kira kita perlu menggunakan ini entah bagaimana.
EDIT : Dari komentar jelas itu$(2)$ memegang, karena umumnya harus memegang jika $B$ adalah bagian mana pun dari $\mathbb R^d$ dengan $\left.v\right|_B=0$, kemudian $T_t(x)=x$ untuk semua $x\in B$. Tapi bagaimana kita bisa membuktikannya$(3)$?
EDIT 2 : Jika$f$ adalah homeomorfisme antara ruang topologi $E_1$ dan $E_2$ dan $B_1\subseteq E_1$, lalu kita tahu itu $f(B_1^\circ)=f(B_1)^\circ$, $f(\partial B_1)=\partial f(B_1)$ dan $f(\overline{B_1})=\overline{f(B_1)}$. Jika$B_1$ os terbuka, lalu $B_1=B_1^\circ$ dan jika $B_1$ ditutup, lalu $B_1=\overline{B_1}$. Saya pikir kita perlu menggunakan ini untuk$(3)$.
EDIT 3 : Biarkan$x\in\Omega^\circ$. Lalu ada$\varepsilon>0$ dengan $B_\varepsilon(x)\subseteq\Omega$. Mungkin setidaknya kami dapat menunjukkan bahwa ada a$t\in[0,\tau]$ (cukup kecil) sedemikian rupa $\left\|X^x(s)-x\right\|<\varepsilon$ untuk semua $s\in[0,t]$. Kemudian akan mengikuti itu$$T_s(\Omega^\circ)\subseteq\Omega^\circ\;\;\;\text{for all }s\in[0,t].\tag4$$ Dari intuisi murni, cukup kecil $t$, kecepatan seharusnya tidak dapat menggerakkan titik $x$ di luar bola $B_\varepsilon(x)$. Begitu,$(4)$harus dipegang. (Bagaimana kita perlu berargumen bahwa itu bahkan harus kesetaraan? Ini tampaknya sepele, oleh bijectivitas.)
Jawaban
Tentang pertanyaan kedua, Anda bisa melakukannya seperti ini. Ini adalah argumen formal untuk yang lebih intuitif "Anda tidak bisa melewati batas jika batasnya tetap, jadi Anda harus tetap di dalam".
Pertama, anggap saja $\Omega$terbuka. Mengambil$x \in \Omega$. Peta
$$ T_{()}(x): [0, \tau] \to \mathbb{R}^d $$
yang mengirim $t$ untuk $T_t(x) $ adalah kontinyu, demikian gambaran awal dari $\Omega$terbuka. Kami kemudian mendapatkan itu
$$A(x) = \{t \in [0, \tau] : T_t(x) \in \Omega\} $$
terbuka. Misalkan dengan kontradiksi yang ada$x$ seperti yang $A(x)$ tidak $[0,\tau]$. Mengambil$t(x) = \sup \{ t: \forall s \in [0, t] , T_s(x) \in \Omega\}$.Set $y=T_{t_*(x) }(x) $.
Perhatikan itu:
$y \not \in \Omega$. Memang,$t_*(x) < \tau$ karena kalau tidak kita akan melakukannya $A(x) = [0,\tau]$. Jika$T_{t_*(x) }(x) $ berada di $\Omega$, lalu dengan keterbukaan $A(x) $ kami akan memilikinya $T_{t_*(x) +\epsilon}(x) $ akan masuk $\Omega$ untuk semua cukup kecil $\epsilon$, bertentangan dengan hipotesis sup.
$y \in \partial \Omega$. Memang, kami punya itu
$$ T_{t_*(x) }(x) = \lim_{t\to t_*(x)-} T_t(x) $$
Dan semua poin dalam batas itu milik $\Omega$. Menggunakan juga poin 1 kami mendapatkan itu$T_{t_*(x) }(x) \in \bar{\Omega} \setminus \Omega = \partial \Omega$.
Ini menyimpulkan, karena $T_{t_*(x) }$ tidak akan injeksi: keduanya $x, y$ dipetakan ke $y$.
Argumen yang sama berlaku juga untuk waktu negatif, menghasilkan persamaan $T_t(\Omega) = \Omega$. Memang, ambil$z \in \Omega$: kemudian $T_t (T_{-t}(z)) = z$, dan $T_{-t}(z) \in \Omega$.
Akhirnya jika kita ambil $\Omega$ ditutup, dengan poin sebelumnya yang kita dapatkan $T_t(\Omega^c) = \Omega^c$; menjadi bijective, hasil ini$T_t(\Omega) = \Omega$.
Jawaban Andrea Marino baik-baik saja, saya terutama menuliskan upaya serupa untuk referensi saya sendiri.
Pertama-tama, kami dapat menunjukkan hasil sebagai berikut:
Membiarkan $\tau>0$, $s\in[0,\tau]$, $E$ menjadi a $\mathbb R$-Banach ruang dan $f\in C^0([s,\tau],E)$.
Proposisi 1 : Mari$B\subseteq E$ ditutup dan $$I:=f^{-1}(B)=\{t\in[s,\tau]:f(t)\in B\}.$$ Jika $I\ne\emptyset$, kemudian
- $\sigma:=\inf I\in I$ dan karenanya $f(\sigma)\in B$;
- jika $f(0)\not\in B$, kemudian $\sigma>s$ dan $f(sigma)\in\partial B$.
Akibat wajar 2 : Biarkan$\Omega\subseteq E$ terbuka dan $$I:=\{t\in[s,\tau]:f(t)\not\in\Omega\}.$$ Jika $I\ne\emptyset$, kemudian
- $\sigma:=\in I\in I$ dan karenanya $f(\sigma)\not\in\Omega$;
- jika $f(0)\in\Omega$, kemudian $\sigma>s$ dan $f(\sigma)\in\partial\Omega$.
Sekarang, beralih ke pertanyaan, asumsikan $v:[0,\tau]\times E\to E$ secara seragam Lipschitz berlanjut dalam argumen kedua secara seragam sehubungan dengan argumen kedua dan $v(\;\cdot\;,x)\in C^0([0,\tau],E)$ untuk semua $x\in E$. Lalu ada yang unik$X^{s,\:x}\in C^0([s,\tau],E)$ dengan $$X^{s,\:x}(t)=x+\int_s^tv(r,X^{s,\:x}(r))\:{\rm d}r\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau]\tag1$$ untuk semua $(s,x)\in[0,\tau]\times E$. Kami bisa tunjukkan itu$$T_{s,\:t}(x)=X^{s,\:x}(t)\;\;\;\text{for }x\in E$$ bersifat bijektiva untuk semua $0\le s\le t\le\tau$.
Proposisi 3 : Biarkan$(s,x)\in[0,\tau]\times E$. Jika$$v(t,x)=0\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau],\tag2$$ kemudian $$X^{s,\:x}=x\tag3.$$
(Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan asumsi Lipschitz dan ketidaksetaraan Gronwall.)
Akibat wajar 4 : Biarkan$(s,x)\in[0,\tau]\times E$ dan $\Omega\subseteq E$terbuka atau tertutup. Jika$$v(t,x)=0\;\;\;\text{for all }(t,x)\in[s,\tau]\times\partial\Omega\tag4,$$ kemudian $$T_{s,\:t}(\Omega)=\Omega\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau].\tag5$$
Bukti : Kami pertama kali menunjukkan yang berikut: Mari$x\in\Omega$. Jika$\Omega$ terbuka, lalu $$T_{s,\:t}(x)\in\Omega\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau]\tag6.$$ Untuk membuktikan itu, mari $$I:=\{t\in[s,\tau]:X^{s,\:x}(t)\not\in\Omega\}.$$ Asumsikan klaim tersebut tidak benar, yaitu $I\ne\emptyset$. Kemudian, dengan Corollary 2,$$\sigma:=\inf I\in I\tag7$$ dan $$y:=X^{s,\:x}(\sigma)\in\partial\Omega.$$ Jadi, oleh $(2)$, $$v(t,y)=0\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau]\tag8$$ dan karenanya $$T_{s,\:t}(y)=y\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau]\tag9$$ menurut Proposisi 3. Sebaliknya, menurut definisi, $$T_{s,\:\sigma}(x)=y\tag{10}.$$ Sejak $\Omega$ terbuka, $\Omega\cap\partial\Omega=\emptyset$ dan karenanya $x\ne y$. Tapi oleh$(9)$ dan $(10)$ ini menyiratkan itu $T_{s,\:\sigma}$tidak suntik; yang tidak benar. Begitu,$I=\emptyset$.
Namun, yang dapat kami simpulkan dari klaim ini adalah $$T_{s,\:t}(\Omega)\subseteq\Omega\;\;\;\text{for all }t\in[s,\tau],\tag{11}$$ tapi kenapa $(11)$sebenarnya persamaan ?
EDIT : Tidak bisakah kita menerapkan bukti yang sama$[s,\tau]\ni t\mapsto T_{s,\:t}^{-1}(x)$, dimana $x\in\Omega$sudah diperbaiki seperti pada klaim pertama dari bukti saya di atas? Jika saya tidak melewatkan sesuatu, satu-satunya bagian yang relevan adalah kesinambungan$[s,\tau]\ni t\mapsto T_{s,\:t}(x)$ dan kami dapat menunjukkannya $[s,\tau]\ni t\mapsto T_{s,\:t}^{-1}(x)$terus menerus juga. Jadi, bukti klaim itu harus mengikuti baris demi baris$T_{s,\:t}^{-1}(x)\in\Omega$ untuk semua $t\in[s,\tau]$. Bagaimana menurut anda?