Jika Z | Y ~ Bin (p, y) dan Y ~ Poisson (L) lalu Z ~ Poisson (p * L)? [duplikat]
Saya memeriksa apakah pertanyaan ini telah dijawab sebelumnya tetapi karena notasi, sulit untuk dilihat. Saya sedang membaca makalah yang menjelaskan tentang dua RV berikut$$ z \mid y \sim Binomial(\pi, y) \\ y \sim Poisson(\lambda) $$ kemudian menyimpulkan (dengan integrasi dan Aturan Bayes) itu $$ z \sim Poisson(\pi \cdot \lambda) \\ y - z \sim Poisson( (1 - \pi)\cdot \lambda) $$
Saya mencoba mengerjakannya di atas kertas tetapi karena saya bukan ahli statistik terlatih, saya tidak yakin di mana kesalahan saya. Jika saya ingin menurunkan$z \sim Poisson(\pi\lambda)$, maka saya menggunakan probabilitas bersyarat yaitu $$ p(z) = \int_y p(z, y) \,\, dy $$ dimana $p(z, y)$adalah probabilitas gabungan. Memperluas ini, saya punya$$p(z) = \int_y {y\choose z} \pi^z (1 - \pi)^{(y - z)} \frac{e^\lambda \lambda^y}{y!} \, \, dy $$ tapi saya rasa saya harus mendapatkan persamaan berikut entah bagaimana $$p(z) = \frac{e^{\pi\lambda} (\pi\lambda)^{z}}{z!}$$tetapi saya tidak dapat memanipulasi integral di atas untuk mendapatkan formulir ini. Tidak yakin apakah itu mungkin.
Jawaban
Ini mengikuti dari beberapa teori distribusi yang cukup standar. Menetapkan$Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$ dan $Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ mandiri, dan biarkan $Y = Y_1 + Y_2$ dan $Z = Y_1$. Kemudian fakta-fakta berikut dengan cepat diturunkan:
$Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ (dapat diperiksa dengan menghitung fungsi pembangkit momen).
$[Z \mid Y = y] \sim \text{Binomial}(\pi, y)$ karena, menggunakan kemerdekaan,
$$ f(z \mid y) = \frac{\Pr(Y_1 = z, Y_2 = y - z)}{\Pr(Y = y)} = \binom{y}{z} \pi^z (1 - \pi)^{y-z} $$
- Memang benar menurut definisi itu $Y - Z = Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ dan itu $Z = Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$, yang merupakan hasil yang Anda inginkan.
Karenanya, ada $Z$ dan $Y$ dengan properti yang Anda inginkan, tetapi karena distribusi gabungan secara unik dicirikan oleh kondisi Anda $(Z,Y)$Oleh karena itu, ini benar untuk semua $Z$ dan $Y$ memuaskan kondisi Anda.
Ini sedikit aljabar, tapi inilah percobaan saya
Ekspresi massa jenis setelah Anda mengeluarkan suku-suku tidak melibatkan $y$ adalah
$$ p(z) = \pi^z \exp(\lambda) \sum_{z \leq y} \binom{y}{z} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{y!}$$
Itu $y!$ membatalkan dari koefisien binomial
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{{z \leq y}} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{(y-z)!}$$
Dan karena indeks hanya untuk $0\leq y-z$, lalu biarkan $k=y-z$
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k+z}}{(k)!}$$
Lebih menyederhanakan
$$ = (\lambda\pi)^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k}}{(k)!}$$
Anda akan melihat jumlahnya adalah ungkapan untuk $\exp(\lambda - \lambda \pi)$
Dan kita berakhir dengan
$$ p(z) = (\lambda \pi)^z \dfrac{\exp(-\pi\lambda)}{z!}$$
Yang saya percaya artinya
$$z \sim \operatorname{Poisson}(\pi \lambda)$$
Mendapatkan $E(Z)$ dan $Var(Z),$ini dapat dilihat sebagai jumlah acak variabel acak. Khususnya,$Z$ adalah jumlah dari angka acak $Y$ variabel acak Bernoulli masing-masing dengan probabilitas keberhasilan $\pi.$
Berikut adalah histogram dari 100.000 realisasi simulasi $Z,$ menggunakan $\lambda = 20, \pi = 0.4$ bersama dengan probabilitas yang tepat (pusat lingkaran merah) untuk $\mathsf{Pois}(8).$
set.seed(2020)
lam = 20; pp = 0.4
y = rpois(10^5, lam)
z = rbinom(10^5, y, pp)
summary(z)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 6.000 8.000 8.001 10.000 22.000
mx = max(z); cutp = (-1:mx)+.5
hdr = "Histogram of Simulated Z with Density of POIS(8)"
hist(z, prob=T, br=cutp, col="skyblue2", main=hdr)
points(0:mx, dpois(0:mx, pp*lam), col="red")
Catatan: (1) @aleshing benar bahwa, karena keleluasaan, integral harus diperlakukan sebagai penjumlahan.
(2) Dalam kode R: Tidak dapat digunakan piuntuk$\pi$karena itu adalah konstanta cadangan di R. If ykebetulan kembali$0,$ rbinom diprogram untuk kembali $0.$
(3) Jika menarik: handout kursus UNL tentang jumlah acak variabel acak .