Kalkulus Spivak: Bab 3 Soal 24b

Question

24b) Misalkan $f$ adalah fungsi sedemikian rupa sehingga setiap angka $b$ bisa ditulis $b = f(a)$ untuk beberapa bilangan real $a$. Buktikan bahwa ada fungsinya$g$ seperti yang $f \circ g = I$

Saya rasa saya benar-benar memahami pertanyaan ini dan cara menyelesaikannya, tetapi saya kesulitan menemukan cara untuk mengekspresikan solusi saya dengan cara yang tepat secara matematis, terutama ketika $f$tidak suntik. Inilah ide saya:

Pertama-tama, jika $f$ bersifat suntik, maka itu sepele.

Membiarkan $g(x) = a$, dimana $x = f(a)$ untuk apapun $a \in \text{domain}(f)$

Sejak $f$ bersifat suntik, menurut definisi hanya ada satu nilai $a$ itu memuaskan $x = f(a)$ untuk setiap $x$, yang berarti $g$didefinisikan dengan baik. Dan$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (menurut definisi $g$), yang dari anggapan dalam pertanyaan tersebut adalah $\mathbb{R}$. Juga,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, sejak $f$ dan $g$bersifat suntik (tapi fakta itu tidak penting). Begitu$f(g(x))$ didefinisikan untuk semua $x ∈ \mathbb{R}$. Akhirnya,$f(g(x))$ = $f(a)$, dimana $x = f(a)$ untuk $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.

Tapi sekarang jika $f$tidak suntik, itu menjadi lebih rumit. Jika saya menyimpan definisi asli saya$g$, menjadi "$g(x) = a$, dimana $x = f(a)$ untuk apapun $a \in \text{domain}(f)$", maka itu tidak berhasil karena $g$tidak lagi berfungsi. Karena sejak itu$f$ tidak injeksi, ada minimal 2 angka $z$ dan $w$ seperti yang $z \neq w$ tapi $f(z) = f(w)$, yang artinya ada $x$ seperti yang: $g(x) = z = w$.

Saya pikir idenya adalah untuk mendefinisikan ulang $g$ untuk "memilih" saja $z$ atau $w$, dan tetapkan ke $x$. Misalnya bisa memilih yang lebih kecil dari keduanya. Satu-satunya perbedaan yang akan terjadi adalah sekarang$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, dari pada $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. Tapi karena fakta itu tidak penting sebelumnya, kesimpulan dari pertanyaan itu masih berlaku.

Inilah pertanyaan saya. Bagaimana cara saya menuliskan definisi secara eksplisit$g$ yang "memilih" yang lebih kecil dari $z$ atau $w$? Selanjutnya ingat setidaknya ada 2 bilangan z dan w. Mungkin ada lebih banyak angka seperti itu$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$dan seterusnya. Dan itu hanyalah salah satu cabang sembarang dari nilai-nilai umum$f$bisa mengambil. Mungkin ada kumpulan angka yang berbeda$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ dan seterusnya, itu tidak sama dengan $f(z)$, dll.

Ini mulai menjadi sangat berantakan. Bagaimana saya bisa mengungkapkan$g$ secara matematis?

Answer 1

Kesalahan yang Anda perhatikan itu nyata, bagus untuk menemukannya! Apa yang Anda diminta untuk tunjukkan pada dasarnya adalah aksioma pilihan untuk bilangan real. Ini adalah aksioma karena Anda tidak dapat membuktikan (versi umum) dari aksioma-aksioma lain dari teori himpunan, meskipun tampaknya masuk akal.

Jadi, Anda memiliki dua opsi:

• Anda dapat mengabaikan fakta bahwa definisi Anda memiliki masalah ini dan pada dasarnya berkata: "Baiklah, pilih saja opsi yang mana saja, tidak ada yang aneh untuk dilihat di sini."
• Anda dapat menggunakan aksioma pilihan. Dikatakan (langsung dari artikel Wikipedia): Untuk keluarga yang diindeks$(S_i)_{i\in I}$ dari set yang tidak kosong (di mana $I$ adalah beberapa kumpulan pengindeksan) ada satu keluarga $(x_i)_{i\in I}$ seperti yang $x_i \in S_i$ untuk setiap $i\in I$. Saya serahkan pada Anda untuk mencari cara bagaimana mendapatkan klaim Spivak. (Sebenarnya, rumusan favorit saya tentang aksioma pilihan pada dasarnya adalah apa yang harus Anda buktikan, tetapi tidak terbatas pada angka.)

Answer 2

Misalkan ada fungsi pilihan eksplisit $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.

Membiarkan $A \subset \mathbb{R}$. Menurut definisi,$C(A) = r$ untuk beberapa $r \in \mathbb{R}$.

Perhatikan bahwa jika $A \subset \mathbb{R}$, lalu jelas: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.

Sekarang tentukan fungsi $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ secara rekursif sebagai berikut:

$A_1(A)$ = $A$

$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$

$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$

dll.

Secara formal:

1. $A_1(A)$ = $A$

2. Jika $A = \emptyset$, Kemudian: $A_n(\emptyset) = \emptyset$

3. Jika $A \neq \emptyset$, Kemudian: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$

Pada dasarnya yang saya lakukan adalah menerapkan fungsi pilihan $C$ untuk $A$ untuk memilih bilangan real tertentu $r_1$ di $A$, lalu mendefinisikan $A_2$ menjadi set {$A$ hilang $r_1$}, lalu menerapkan $C$ untuk $A_2$ untuk memilih bilangan real yang berbeda $r_2$ di $A$, lalu mendefinisikan $A_3$ menjadi set {$A$ hilang ($r_1$ dan $r_2$)}, dll.

Ok sekarang tentukan fungsi lain $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ menggunakan fungsi pilihan asli $C$ dan yang baru $A_n$ berfungsi seperti ini:

$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$

Fungsi ini $Z$sangat spesial. Setiap elemen$r \in A$ sesuai dengan nilai unik dari $Z(r)$. Dengan kata lain,$Z$ mampu memetakan setiap elemen dari bagian bilangan real ke bilangan asli yang unik $n$.

Saya merasa Cantor akan mengatakan sesuatu tentang ini ...

Answer 3

Jika $f$ adalah fungsi non-injeksi, $f$ dapat ditulis sebagai $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ dimana $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ dan $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.

Menetapkan $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$

Menetapkan $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$

$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, dimana $Z \in \mathbb{N}$ atau $Z = \infty$

Sekarang menggunakan AoC: Buat set baru $\hat A$ yang berisi tepat satu pasangan terurut $(x_{a+ni},f_{ni})$ dari setiap $A_n$.

Menetapkan $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$

Terakhir, definisikan $g(x) = a$, dimana $(a,x) \in f_{\text{injective}}$