Kekompakan relatif dalam ruang topologi (permintaan referensi)

Question

Motivasi dan konteks: Untuk subset$S$ dari ruang metrik $(M,d)$, berikut adalah dua hasil kekompakan yang sangat klasik dalam Analisis:

• 1a) Set$S$ kompak jika dan hanya jika setiap urutan masuk $S$ memiliki urutan yang menyatu ke suatu titik $S$.

• 1b) Set$S$ relatif kompak (yaitu, memiliki penutupan kompak) di $M$ jika dan hanya jika setiap urutan masuk $S$ memiliki urutan yang menyatu ke suatu titik $M$.

Sekarang pertimbangkan klaim analog berikut untuk subset $S$ dari ruang topologi $X$:

• 2a) Set$S$ kompak jika dan hanya jika setiap jaring masuk $S$ memiliki subnet yang menyatu ke satu titik $S$.

• 2b) Set$S$ relatif kompak $X$ jika dan hanya jika setiap jaring masuk $S$ memiliki subnet yang menyatu ke satu titik $X$.

Pernyataan 2a) juga merupakan hasil klasik dalam topologi himpunan titik. Di sisi lain, implikasinya "$\Leftarrow$"di 2b) tidak berlaku, secara umum.

Lebih tepatnya, yang berikut ini:

• (i) Jika$X$ bukan Hausdorff, itu mungkin terjadi $S$kompak tetapi tidak tertutup, dan juga memiliki penutup non-kompak. Ini menunjukkan bahwa 2b) gagal, secara umum.

• (ii) Sedikit lebih menarik, 2b) juga bisa gagal di ruang Hausdorff. Memang, counterexample dapat dibangun jika kita memilih$S$menjadi setengah cakram terbuka dengan satu titik tambahan, dalam topologi cakram setengah pada bidang setengah atas; topologi ini, misalnya, dijelaskan dalam Contoh 78 " Counterexamples in Topology (1978)" dari Steen dan Seebach . (Tidak disebutkan secara eksplisit di sana bahwa ruang ini menghasilkan contoh yang berlawanan untuk 2b), tetapi itu tidak sulit untuk dilihat.)

• (iii) Jika$X$ adalah Hausdorff dan topologi aktif $X$diinduksi oleh struktur yang seragam (ekuivalen, jika$X$benar - benar teratur ), maka 2b) memang berlaku.

Penegasan (iii) tidak terlalu sulit untuk ditampilkan, tetapi juga tidak sepenuhnya jelas. Selain itu, (iii) terkadang cukup berguna dalam teori operator. Jadi, demi kutipan, muncul pertanyaan berikut:

Pertanyaan (permintaan referensi): Apakah Anda mengetahui referensi di mana (iii) secara eksplisit dinyatakan dan dibuktikan?

Pertanyaan terkait: Pertanyaan ini terkait secara longgar.

Answer 1

Lihat Buku Pegangan Analisis dan Landasannya , oleh Eric Schechter (Bagian 17.15).

Answer 2

Tebakan saya genap itu $T_3$sudah cukup. Saat ini saya tidak memiliki akses ke monograf Fletcher, Peter dan Lindgren, William F., Ruang Kuasi-seragam, M. Dekker, New York, Basel 1982, tetapi ini memuat cukup banyak hasil tentang penyelesaian dan kekompakan semu. Mungkin juga berisi hasil tentang keterkaitan dengan kekompakan relatif.