Kenapa $x(t)$ tidak berkala tapi $x[n]$ aku s?
Saya telah menahan sinyal dan sistem dan saya menemukan masalah ini.
Menurut definisi, $x(t)$ menunjukkan sinyal waktu kontinu dan $x[n]$ menunjukkan sinyal waktu-diskrit.
$x(t)$ bersifat periodik jika terdapat konstanta $T>0$ seperti yang $x(t) = x(t+T)$ untuk semua $t$ adalah bagian dari bilangan real.
$x[n]$ bersifat periodik jika terdapat konstanta $N>0$ seperti yang $x[n] = x[n+N]$ untuk semua $n$ adalah bagian dari bilangan bulat.
Kemudian saya menemukan pertanyaan ini: Mengapa $x(t)$ aperiodik?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
Cara kerja yang saya buat adalah sebagai berikut:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Menganggap $x(t) = x(t+T)$
yaitu $(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Mengingat $k$adalah bilangan bulat, bukankah ini periodik? Tolong beritahu saya jika perhitungan saya salah.
Mohon maaf jika saya memposting topik yang tidak relevan dan terima kasih atas tanggapan Anda.
Jawaban
Anda telah menunjukkan *:
Jika $x(t)$ bersifat periodik, lalu ada beberapa $T>0$ seperti yang $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ adalah bilangan bulat untuk setiap nyata $t$.
* Edit: Seperti yang ditunjukkan oleh @SHW di komentar, ini tidak sepenuhnya benar. Sebaliknya, seharusnya begitu
$x(t)$ bersifat periodik jika dan hanya jika ada $T > 0$ sedemikian rupa sehingga setidaknya satu $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ atau $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$ adalah bilangan bulat untuk setiap nyata $t.$
Sejak $T \neq 0$, seharusnya cukup jelas bahwa akan ada beberapa $t$ sedemikian rupa sehingga tidak satu pun dari ekspresi tersebut menghasilkan integer, menunjukkan itu $x(t)$ tidak berkala.
Untuk membuktikannya, perhatikan bahwa, untuk setiap bilangan bulat $k$, ada yang unik nyata $t$ seperti yang $\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$ dan paling banyak dua bilangan real $t$ seperti yang $\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$ Karena ada banyak bilangan bulat yang tak terhitung, ada banyak pula yang tak terhitung banyaknya $t$ sedemikian rupa sehingga setidaknya satu $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ atau $\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$adalah bilangan bulat. Karena ada banyak bilangan real yang tak terhitung banyaknya, pasti ada bilangan real$t$ sedemikian rupa sehingga tidak ada ekspresi yang menghasilkan integer.
Seperti yang saya sebutkan di atas, ini menunjukkan $x(t)$ tidak berkala.
Di sisi lain, kami dapat menetapkan mis $T=8$ untuk melihatnya $\dfrac{T^2+2tT}{16}$ adalah bilangan bulat kapan pun $t$ adalah bilangan bulat, menunjukkan $x[n]$ bersifat berkala.
Membiarkan $x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Jika$x(t)$ adalah periodik dengan $T$ lalu di sana ada $T \gt 0$ seperti yang $x(t) = x(t+T)$ untuk semua $t \in \mathbb{R}$. Jadi dalam hal ini kami punya$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Jika $t = 0$ kemudian $\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Membedakan kedua sisi dan membiarkan$t = 0$ kita punya $$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$ Itu berarti $T = 0$ atau $\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Kasus pertama tidak diperbolehkan jadi kami menyimpulkan itu$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Jika kita membedakan dua kali dan lagi biarkan$t = 0$ kemudian $$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$ Menggabungkan hasil mengarah ke $T = 0$ yang tidak diperbolehkan menurut $T \gt 0$. Motivasi untuk menggunakan diferensiasi di sini adalah itu$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$ yang membantu kita untuk mendapatkannya $T$ diluar $\cos$berfungsi dan mencapai kontradiksi. Tentu saja, jawaban Brian jauh lebih elegan dan tidak memerlukan kalkulasi turunan.