Keunikan bidang berhingga dengan $p^n$elemen. [duplikat]

Dec 25 2020

Sudah diketahui umum bahwa hanya ada satu bidang terbatas dengan $p^n$ elemen, hingga isomorfisme, di mana $p$ adalah bilangan prima dan $n \geq 1$.

Membiarkan $n = m t$, dimana $m, t > 1$.

Kemudian $F = Z_p[X]/(f(X))$ adalah bidang dengan $p^n$ elemen, disediakan $f$ adalah beberapa polinomial derajat yang tidak dapat direduksi $n$ di $Z_p$.

Dengan cara yang sama, $G = Z_p[X]/(g(X))$ adalah bidang dengan $m$ elemen ($g$ derajat yang tidak dapat direduksi $m$). Kemudian$G$ memiliki $p^m$ elemen.

Akhirnya biarkan: $H = G[X]/(h(X))$ dimana $h$ adalah polinomial derajat yang tidak dapat direduksi $t$ dengan koefisien dalam $G$.

Sekarang, dalam pemahaman saya $F$ dan $H$ memiliki keduanya $p^n$elemen. Jadi pertanyaan saya adalah:

Adalah $F$ dan $H$ isomorfis?

Jawaban

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

Ini bergantung pada fakta umum tentang pemisahan bidang.

Membiarkan $F$ menjadi lapangan dan $f(X)\in F[X]$menjadi polinomial monik. Bidang ekstensi$K$ dari $F$adalah bidang pemisah untuk$f$ jika

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ di $K[X]$ (akarnya tidak perlu dibedakan);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Dalil. Jika$K_1$ dan $K_2$ adalah bidang pemisah dari $f(X)\in F[X]$, maka ada isomorfisme bidang $\varphi\colon K_1\to K_2$ pergi $F$ tetap tepat sasaran.

Buktinya gondrong dan bisa ditemukan di buku manapun tentang teori Galois, karena itu alat dasarnya.

Sekarang perhatikan polinomial tersebut $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, dimana $\mathbb{F}_p$ adalah $p$-elemen bidang (yang unik hingga isomorfisme unik).

Membiarkan $K$ menjadi bidang pemisahan $f(X)$. Kemudian$f(X)$ memiliki $p^n$ akar yang berbeda $K$ (karena turunan dari polinomial adalah $-1$). Di sisi lain, himpunan akar$f(X)$ adalah subbidang dari $K$: memang, jika $a,b$ adalah akar, lalu $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ begitu $a+b$ adalah akar dari $f$. Secara analogi$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$dan mudah untuk memeriksa timbal baliknya. Sejak itu juga$0$ dan $1$ adalah akar kita sudah selesai.

Jadi $K$ adalah himpunan dari semua akar$f$ dan oleh karena itu $|K|=p^n$.

Sebaliknya jika $K$ adalah bidang dengan $p^n$ elemen, maka argumen yang sama seperti sebelumnya menunjukkan itu $X^{p^n}-X$ memiliki $p^n$ akar yang berbeda $K$, jadi $K$ adalah bidang pemisah untuk $f(X)$.

Keunikan hingga isomorfisme sekarang mengikuti dari teorema di atas.