Klasifikasi yang lebih baik dari kelompok Lie kompak
Pertanyaan ini merupakan tindak lanjut dari Klasifikasi kelompok Lie kompak (tidak harus terhubung) . Dalam menjawab pertanyaan itu, @LSpice membuktikan bahwa setiap grup Lie kompak, belum tentu terhubung$G$ mengambil bentuknya $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ dimana $G_0$ adalah komponen identitas $G$, $R$ adalah grup terbatas, dan $P$ adalah subkelompok umum yang terbatas dari $G_0$ dan $R$ itu adalah pusat di dalam $G_0$ (tetapi tidak perlu menjadi pusat di dalam $R$).
Meskipun demikian, ada banyak kemungkinan untuk produk semi langsung. Untuk mempersempit daftar, akan lebih mudah untuk memisahkan elemen-elemen tersebut$R$ yang bertindak oleh automorfisme luar non-sepele $G_0$ dan memodifikasi sisanya agar mereka dapat bepergian $G_0$.
PEMBARUAN: hipotesis asli saya (di bawah) salah. Versi yang lebih lemah, mungkin benar adalah:
Hipotesa: $R$ dan $P$ dapat dipilih di atas sehingga setiap elemen $R$ baik (1) bertindak oleh automorfisme luar non-sepele $G_0$ atau (2) bertindak sepele $G_0$.
PEMBARUAN 2: @LSpice membuktikan ini dalam jawaban yang diperbarui untuk Klasifikasi grup Lie kompak (tidak harus terhubung) . Pengungkapan ulang singkat dari bukti diberikan dalam jawaban saya di bawah ini.
Sebagai perbandingan, ini salah:
Hipotesis: Setiap kelompok Lie kompak $G$ bisa ditulis dalam bentuk $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ dimana $H, R, P$ adalah kelompok terbatas dan elemen non-sepele dari $R$ bertindak dengan automorfisme luar non-sepele $G_0$.
Counterexample: pertimbangkan $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, dimana generatornya $r$ dari $\mathbb{Z}_4$ bertindak oleh automorfisme luar `` konjugasi muatan '' $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ di $U(1)$. Dalam ekstensi terbatas apa pun$G'$ dari grup ini, elemen $\pi_0(G)$ bahwa tindakan konjugasi muatan tidak akan pernah sesuai dengan identitas di $G'$, jadi $G'$ tidak pernah mengambil yang dibutuhkan $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ bentuk dengan $\mathbb{Z}_2$ bertindak $U(1)$ dengan konjugasi muatan.
Jawaban
@LSpice telah membuktikan dugaan saya yang direvisi dalam jawaban yang diperbarui untuk Klasifikasi grup Lie kompak (tidak harus terhubung) , tetapi izinkan saya memberikan bukti lain yang terkait erat.
Sejak $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$selalu terbagi, lihat Apakah Aut (G) → Out (G) selalu terbagi untuk Lie group G yang kompak dan terhubung? , kita dapat memilih subkelompok$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ yang pembatasannya $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$adalah isomorfisme. Gambar kebalikan dari$R_0$ di bawah peta $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ diinduksi oleh konjugasi adalah subkelompok $K \subseteq G$ yang bersinggungan dengan $G_0$ aku s $Z(G_0)$.
Mengalikan apapun $g\in G$ dengan sewenang-wenang $h \in G_0$ mengalikan yang terkait $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ oleh automorfisme batin yang sewenang-wenang $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, tanpa berubah $g$komponen yang terhubung. Jadi,$K$ memenuhi setiap komponen yang terhubung dari $G$.
Menggunakan hasil dari grup In any Lie dengan banyak komponen terkoneksi tak terhingga, apakah terdapat subgrup hingga yang memenuhi setiap komponen? ,$K$ memiliki subkelompok yang terbatas $R$ yang memenuhi setiap komponen $K$, karenanya memenuhi setiap komponen $G$ juga, dan berpotongan $G_0$ dalam $Z(G_0)$. Secara desain, elemen$R$ baik bertindak dengan automorfisme luar non-sepele $G_0$ atau mereka bertindak sepele $G_0$. Ini membuktikan dugaan saya (direvisi).
KOMENTAR DITAMBAHKAN: Sebuah generalisasi yang menarik, namun salah, dinyatakan dan tidak terbukti di bawah ini.
Diketahui dengan baik bahwa setiap grup Lie yang kompak dan terhubung$G_0$ mengambil bentuknya $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ dimana $T^k$ menunjukkan a $k$-torus, $G_1, \ldots, G_\ell$ kompak, terhubung sederhana, grup Lie sederhana, dan $P$adalah pusat. Orang mungkin berpikir bahwa quotients dalam ekspresi untuk$G$ dan $G_0$ bisa digabungkan, sehingga grup Lie pun kompak $G$ akan berbentuk: $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ dimana seperti sebelumnya setiap elemen $R$ bertindak dengan luar yang tidak sepele atau bertindak sepele $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. Namun, ini salah .
Counterexample: Pertimbangkan $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, dimana generatornya $r \in \mathbb{Z}_4$ bertindak dengan paritas $\mathrm{SO}(2k)$ dan $r^2 = -1 \in SO(2k)$. Sekarang biarkan$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ menjadi sampul $G$ yang komponennya terhubung $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Ada beberapa elemen$r'$ dari $R$ yang memproyeksikan $r$, karenanya $r’$ bertindak $\mathrm{Spin}(2k)$dengan paritas. Jika$k$ aneh, kalau begitu $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, dan $(r’)^2$ harus menjadi salah satu dari dua elemen urutan 4 in $Z(G_0')$ memproyeksikan $(r)^2 = -1$. Namun, paritas mempertukarkan kedua elemen ini, jadi kami temukan$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, yang merupakan kontradiksi. Kasus genap$k$ sangat mirip.