kondisi untuk dua kurva memiliki garis singgung yang sama
Pertimbangkan kurva $by=x^2+x+\frac{b}{24}$ dan $bx=y^2+y+\frac{b}{24}$ Jika kedua kurva memiliki garis singgung yang sama, maka berapa nilai b yang dapat diambil?
Saya mengamati bahwa kedua kurva itu terbalik satu sama lain atau mereka simetris terhadap $y=x$. Intuisi saya adalah bahwa ini adalah kunci dari masalah. Tetapi saya tidak dapat melangkah lebih jauh.
Jadi saya mencoba menggunakan rumus umum untuk bersinggungan dengan parabola bentuk $(y-f)^2=4a(x-g)$ yang mana $y-f=m(x-g)+\frac{a}{m}$ tetapi ekspresi menjadi terlalu rumit. Akhirnya saya mencoba menggambar sketsa kasar untuk mendapatkan ide tetapi saya harus mempertimbangkan terlalu banyak sub kasus.
Saya menemukan masalah ini dalam tes tiruan yang mengharapkan Anda menyelesaikan masalah dalam waktu 2 menit. Jadi saya kira ada metode yang relatif sederhana untuk mendekati masalah ini. Bantuan apa pun akan dihargai.
Sunting Saya setuju dengan semua jawaban yang diberikan di bawah ini. Tetapi ketika saya melihat solusinya, saya tidak tahu apa yang mereka coba lakukan. Saya mengerti bagaimana mereka mendapatkannya$b=\frac{3}{2} and \frac{2}{3}$Saya tidak mengerti bagian selanjutnya adalah sebagai berikut.
membiarkan $a=\frac{1}{b}$ jika 2 kurva berpotongan pada P1 dan P2 tetapi pada P1 yang bersinggungan dengan kurva pertama tegak lurus terhadap y = x sehingga bersinggungan dengan kurva kedua pada P1.
kemiringan garis singgung =$2ax+a$ .Sebagai (a, x) memenuhi ini
$2ax+a=-1$ dan menyelesaikan dengan $x=ax^2+ax+\frac{1}{24}$
$a=\frac{-13+\sqrt{601}}{12}=\frac{1}{b}$
saya telah menulis jawabannya seperti yang diberikan. Kelihatannya cukup tidak masuk akal.
Jawaban
Parabola adalah tentang garis $y=x$ (Mereka adalah bayangan cermin satu sama lain tentang garis $y=x$). Jadi garis singgung bersama mereka juga akan menjadi aboy simetris$y=x$. Dua kemungkinan muncul:
Kasus 1: $x=y$ adalah garis singgung yang sama:
Jika mereka harus memiliki satu garis singgung yang sama maka dengan menempatkan $y=x$ di salah satu dari mereka memberi $$x^2+(1-b)x+b/24=0$$, kuadrat ini hanya perlu memiliki satu akar yang nyata, jadi kondisinya $B^2=4AC$ perlu dipuaskan: $$(1-b)^2=\frac{b}{6} \implies 6b^2-12b+6=0 \implies b=\frac{13\pm 5}{12} \implies b=\frac{3}{2},\frac{2}{3}.$$ Hanya bila $b=3/2, 2/3$ $y=x$ adalah garis singgung yang sama.
Kasus 2: kapan $x+y=-k$ adalah garis singgung umum (lebih umum)
Lalu kami taruh $y=-k-x$ di parabola pertama yang didapat $$x^2-(1+b)x+bk+b/24=0$$ Untuk tangensi kami menuntut $B=4AC$, kita mendapatkan $$(1+b)^2=4bk+b/24 \implies k=\frac{(1+b)^2}{4b}-\frac{1}{24}~~~~(*)$$ Oleh karena itu untuk setiap nilai riil $b$ $x+y=-k$, akan bersinggungan dengan parabola ini whe $k$ datang dari $(*)$.
Kasus 3: dua garis singgung yang sama
Menariknya, $b=3/2,2/3$ memberi $k=1.$ Begitu $x+y=1$ dan $y=x$ adalah dua garis singgung yang sama dengan dua parabola yang diberikan.
Lihat gambar di bawah untuk $b=4$ (satu garis singgung yang sama, $x+y=73/48.$) dan untuk $b=3/2$ (dua garis singgung yang sama $y=x, x+y=1$).
Pertimbangkan persamaan garis lurus
$$x+y=c.$$
Kami memotongnya dengan parabola
$$by=x^2+x+\frac b{24}$$ dan dengan menghilangkan $y$kami mendapatkan persamaan kuadrat. Diskriminan adalah
$$(b+1)^2-\frac b6+4bc$$
dan membatalkan (root ganda) saat
$$c=\frac1{24}-\frac{(b+1)^2}{4b}.$$
Ini sesuai dengan garis singgung parabola pertama, dan dengan pertukaran $x,y$, itu juga bersinggungan dengan yang kedua. Oleh karena itu, ada garis singgung yang sama untuk semua$b\ne0$.
Fi, dengan $b=4$,
