Konstan Feigenbaum

Artikel terakhir saya adalah pengantar yang sangat singkat tentang teori Kekacauan di mana saya terutama menulis tentang efek Kupu -Kupu , yaitu konsep dari mana teori kekacauan dimulai. Sebelumnya saya pernah membahas tentang grafik penduduk di salah satu artikel saya . Saya menggambarkan grafik sebagai fraktal yang disebut "pohon ara". Saya juga telah menyebutkan bahwa fraktal adalah bagian dari teori chaos. Jadi, bagaimana kekacauan akhirnya membentuk grafik ini?

Ada konstanta yang sangat terkenal yang disebutkan bersama dengan konstanta matematika terkenal lainnya seperti π, sqrt{2}, e, i, dll. Saya pribadi belum pernah mendengarnya sebelumnya, sampai saat ini. Konstanta ini disebut “ Konstanta Feigenbaum ”, nilainya adalah δ = 4.6692016……., yang berarti irasional seperti π atau e. Ada dua konstanta Feigenbaum. Yang lain disebut dilambangkan sebagai α, tetapi, itu adalah keseluruhan cerita lain yang tidak akan saya bicarakan di artikel ini.

Sekitar tahun 1970-an, seorang ilmuwan bernama Robert May , menulis sebuah makalah di mana dia menulis sebuah persamaan yang memodelkan pertumbuhan populasi. Persamaannya adalah sebagai berikut:

Dalam hal ini, x_(n+1) adalah populasi tahun depan, x_n adalah populasi saat ini dan λ adalah fertilitas. Persamaan ini adalah peta logistik atau hanya fungsi untuk pertumbuhan populasi. Jadi, pada dasarnya, dengan menggunakan persamaan ini, kita dapat memperkirakan berapa jumlah populasi suatu komunitas tahun depan. Saya mengatakan bahwa λ seperti kesuburan penduduk. Jadi, jika nilainya tinggi maka pembiakannya tinggi, tetapi jika nilainya rendah maka pembiakannya rendah. Nilai λ antara 0 dan 1 dimana, 0 berarti tidak berkembang biak dan 1 berarti berkembang biak sempurna.

Kini, para ilmuwan yang tertarik dengan pertumbuhan populasi mengulang grafik ini untuk mengamati variasi populasi di masa depan. Di RHS atau Sisi Kanan dari persamaan yang diberikan, x_n adalah kehidupan, sedangkan (1 — x_n) adalah kematian.

Oke. Sekarang mari kita ambil nilai apa saja untuk x_1. Biarkan itu menjadi 0,5, yaitu membiarkan populasi menjadi setengahnya. Saya mengambil nilai λ sebagai 2.3.

Jadi, jika kita menghitung jumlah penduduk tahun-tahun berikutnya dengan menggunakan persamaan, yaitu x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, akan menjadi

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, masing-masing.

Anda dapat mengamati bahwa nilainya telah menjadi konstan. Dengan kata lain pertumbuhan penduduk telah stabil. Ini disebut sebagai titik tetap dalam iterasi.

Apa yang terjadi jika kita mengubah λ. Mari kita pilih λ yang sangat kecil, antara 0 dan 1. Katakanlah 0,65. Secara intuitif, sudah jelas apa yang akan terjadi jika tingkat kesuburan sangat rendah. Tapi, mari kita tetap menghitung mempertahankan x_1 sebagai 0,5. Saat saya menghitung x_2, x_3, x_4….. berikut ini adalah nilai yang saya hitung.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0,0002, 0,0002

Populasi sudah mati.

Apa yang akan terjadi jika saya mengambil nilai fertilitas yang lebih tinggi, misalnya 3,2?

Saya menghitungnya lagi dengan x_1 sebagai 0,5, setelah banyak iterasi, saya perhatikan bahwa nilainya seperti,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,….. Populasi stabil, tetapi stabil pada 2 nilai.

Sekarang saya akan mengambil nilai λ yang dipilih dengan hati-hati, yaitu 3,5.

Dengan x_1 sebagai 0,5, lagi melalui perhitungan, saya perhatikan bahwa nilai, setelah banyak iterasi, terjadi sebagai,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,38281, 0,38281

Kali ini, nilainya stabil di 4 nilai.

Sekarang mari kita buat grafik dari semua kasus yang kita lihat.

a) Ketika populasi menjadi stabil

b) Ketika populasi mati

c) Ketika populasi memantul di antara dua nilai

d) Ketika populasi memantul di antara empat nilai

Sekarang, dengan hasil yang kita miliki, kita akan memplot grafik dengan λ pada sumbu x dan populasi pada sumbu y. Berikut ini adalah apa yang akan Anda dapatkan:

Ketika λ = 3.2 kami mendapat dua nilai yang berulang. Dengan demikian, Anda akan melihat bahwa grafik bercabang dua di sana. 'Membagi dua' hanyalah cara canggih untuk mengatakan bahwa grafik bercabang. Demikian pula, sekitar 3,5, itu bercabang lagi menjadi empat. Ini terus berlanjut, tetapi dengan kecepatan yang jauh lebih cepat. Grafik akan bercabang lebih cepat, sekarang, dengan perubahan yang sangat kecil dari λ itu sendiri. Setelah beberapa saat, grafik menunjukkan sesuatu yang luar biasa saat kita melangkah lebih jauh ke kanan. Namun, sebelum itu, izinkan saya menjelaskan dengan apa saya memulai artikel ini, konstanta Feigenbaum.

Seperti yang ditunjukkan pada diagram di atas, jika saya mengambil dua panjang berturut-turut dari setiap percabangan grafik dan menemukan rasionya, Anda akan menerima nilai irasional konstan, 4,6692016…….

Ini adalah konstanta Feigenbaum. Dikatakan panjang bifurkasi adalah 4.6692016……. kali lebih kecil dari yang sebelumnya. Feigenbaum menemukan bahwa jika Anda mengambil persamaan kuadrat seperti persamaan populasi, Anda dapat membuat grafik penggandaan periode hanya dengan mengutak-atik parameternya. Dan, dengan mengambil rasio panjang dua percabangan berurutan, Anda akan mendapatkan angka yang sama untuk setiap persamaan kuadrat.

Berikut adalah nasib grafik setelah sekitar λ = 3,59.

Grafik menjadi gila, atau lebih tepatnya, kacau. Meskipun grafik ini ditemukan bahkan sebelum teori chaos dikenal. Konstanta dan grafik ini telah banyak digunakan selama studinya. Kekacauan peka terhadap kondisi awal yang menghasilkan perubahan besar-besaran, seperti yang dijelaskan oleh efek Kupu-Kupu. Demikian pula, di sini, perubahan yang sangat kecil pada λ dapat menyebabkan perubahan gila pada grafik. Seiring dengan efek Kupu-Kupu, ini adalah awal dari teori chaos.