Korespondensi ekstensi Kummer tanpa akar persatuan (Serge Lang)

Question

Saya mencoba menyelesaikan masalah berikut.

Membiarkan $k$ menjadi bidang karakteristik $0$. Asumsikan bahwa untuk setiap ekstensi hingga$E$ dari $k$, Indeks $(E^* : E^{*n})$terbatas untuk setiap bilangan bulat positif n. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif$n$, hanya ada sejumlah ekstensi abelian yang terbatas $k$ derajat $n$.

Jika $k$ berisi akar kesatuan ke-n primitif, seseorang dapat menggunakan korespondensi satu-ke-satu dari ekstensi abelian $k$ dari eksponen n dan subkelompok $k^*$ mengandung pangkat n dari elemen bukan nol dari $k$. Untuk kasus ini salah satu cara untuk mengatasinya adalah seperti pada jawaban posting ini: Temukan bijection antara bidang Kummer dan subkelompok Galois .

Tapi untuk $k$ tidak mengandung akar persatuan ke-n, apakah kita memiliki jenis korespondensi antara, katakanlah, perpanjangan abelian $k$ dari eksponen m dan ekstensi abelian dari $k(\zeta)$ dari eksponen n, darimana $\zeta$ yang merupakan akar kesatuan primitif ke-n?

Saya mengamati bahwa perpanjangan abelian dari $k$ dari eksponen n memiliki derajat ekstensi tidak lebih dari derajat ekstensi di atas $k(\zeta)$ dari ekstensi abelian $k(\zeta)$ dari eksponen n dihasilkan oleh himpunan yang sama, dikalikan dengan $\varphi(n)$, darimana $\varphi(n)$ menunjukkan fungsi Euler.

Pengamatan lain: Asumsikan $k$tidak mengandung akar persatuan ke-n. Misalkan H menjadi subgrup dari$k^*$ mengandung pangkat n dari elemen bukan nol dari $k$, kemudian $H$ dan $\zeta^j$ bersama-sama menghasilkan subkelompok $k(\zeta)^*$ mengandung pangkat n dari elemen bukan nol dari $k(\zeta)$.

Answer 1

Membiarkan $L/k$ menjadi kumpulan dari semua ekstensi gelar abelian paling banyak $n$ lebih $k(\zeta_n)$. Sejak$k$ memiliki karakteristik nol, $L/k$dapat dipisahkan. Lalu, sejak$k(\zeta_n)$ memiliki semua $n$Akar persatuan, Anda sudah tahu itu $L/k$terbatas. Jika$E/k$ adalah perpanjangan gelar abelian $\leq n$, kemudian $E(\zeta_n)$ adalah perpanjangan abelian dari $k(\zeta_n)$ derajat $\leq n$, karenanya $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. Sejak$L/k$dapat dipisahkan, ini berisi paling banyak subekstensi yang tak terhingga. Oleh karena itu, set kemungkinan$E$ terbatas.