Masalah kombinatorik dan interpretasi probabilitas

Question

Untuk variabel vektor gaussian $w\sim N(0,I_{n\times n})$, momen norma kuadrat adalah $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

Berdasarkan teorema Isserlis ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ juga dapat dievaluasi sebagai $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ dimana $\mathcal{P}([r])$ berarti semua partisi di set $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ adalah sebuah partisi, $p$ adalah satu blok dalam sebuah partisi, $|\pi|$ dan $|p|$ adalah jumlah blok dan jumlah elemen dalam satu blok.

Sekarang pertimbangkan varian dari masalah di atas. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ Rumus di atas hanya berbeda dengan momen norma kuadrat variabel vektor gaussian dengan sebuah faktor $\frac{1}{2}$. Apakah ada solusi produk hingga dan interpretasi probabilitas yang serupa untuk rumus di atas?

Answer 1

Memperbaiki $n$. Membiarkan$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Membiarkan $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Menurut Rumus Komposisi (Teorema 5.1.4 Kombinatorika Enumeratif , vol. 2), bilangan yang diinginkan adalah$r!$ dikalikan koefisien $x^r$ di $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Anda dapat mengembangkan ini dengan teorema binomial dan kemudian mengembangkan setiap suku menjadi deret pangkat untuk mendapatkan rumus untuk bilangan Anda sebagai penjumlahan $n$ istilah.