$\mathbb R$ dengan topologi yang dihasilkan oleh $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ adalah pseudocompact
Saya mencoba untuk memecahkan pertanyaan berikut dari set masalah persiapan UChicago GRE :
Memberkati $\mathbb R$ dengan topologi kanan, dihasilkan oleh $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ dan beri nama ruang ini $X$. Manakah dari berikut ini yang salah?
(...)
(E) $X$ adalah pseudocompact (setiap fungsi berkelanjutan $f: X \to \mathbb R$ terikat)
Sesuai kunci jawaban (E) tidak salah. Saya belum pernah mendengar istilah pseudocompactness sebelumnya, tetapi saya mencoba memahami beberapa hal dari definisi tersebut. Jika saya mengerti dengan benar, topologi$\mathcal O_\tau$ dihasilkan oleh basis $\tau$ adalah $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Properti dasar dari fungsi kontinu adalah bahwa gambar awal dari setiap set terbuka terbuka. Hanya dengan menggunakan ini, bagaimana kami menunjukkannya$f: X \to \mathbb R$ terikat?
Jawaban
Petunjuk :$X$memiliki properti yang lebih kuat: setiap fungsi bernilai riil kontinu (pada kenyataannya, setiap fungsi berkelanjutan dengan nilai dalam ruang Hausdorff) adalah konstan. Ini mengikuti dari fakta bahwa ada setiap dua subset terbuka yang tidak kosong dari$X$ memotong.
Seharusnya $f:X \to \Bbb R$ terus menerus, dan misalkan $f$tidak konstan. Artinya ada$x_1 \neq x_2 \in X$ dengan $f(x_1) \neq f(x_2)$. Misalkan (WLOG) itu$f(x_1) < f(x_2)$ lalu temukan $c\in \Bbb R$ dengan $f(x_1) < c < f(x_2)$. Kemudian$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ terbuka dan $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ terbuka juga (keduanya dengan kontinuitas $f$) dan $O_1$ dan $O_2$ dengan demikian tidak kosong terbuka dan terputus-putus $X$. Namun ini tidak pernah terjadi seperti itu$X$ menurut definisi selalu dalam bentuk $(a, +\infty)$ dan salah satu dari dua perpotongan ini (setiap titik yang lebih besar dari titik maksimum titik batasnya berada di perpotongan).
Jadi pun terus menerus bernilai riil $f$ di $X$ konstan (sangat pasti dibatasi), karenanya $X$ adalah pseudocompact.