Membandingkan set bilangan prima kembar dengan set lainnya. Mengapa ada nilai maks dan min?
Saya telah mengambil 2 set: Yang pertama adalah daftar bilangan prima pertama dari pasangan kembar yang berurutan. Yang kedua adalah deretan angka yang berurutan sebagai berikut 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ....
Saya kemudian membandingkan antara daftar dengan membagi nomor dari daftar kedua dengan nomor dari daftar pertama, dan tingkat pertumbuhan distribusi yang stabil terjadi (seperti yang terlihat pada gambar di bawah).
Jika Anda menganalisis data (seperti yang terlihat pada gambar di bawah), Anda akan melihat bahwa:
Jika fluktuasi kolom E terlalu tinggi (biasanya di atas 1.1), maka pasangan kembar "berikutnya" harus lebih kecil dari pasangan "arus:", sehingga menghasilkan kesalahan.
Anda juga dapat melihat bahwa fluktuasi kolom E tidak pernah terlalu rendah (mungkin tidak kurang dari 0,99 setelah beberapa ratus pertama).
Fenomena yang sama terjadi jika saya mengganti Kolom C dengan kuadrat 1,4,9,16,… atau dengan polinomial kuadrat acak.
Saat mengganti kolom C dengan konstanta sama dengan 1, nilai maks tidak pernah melewati 1 (jelas). Namun, setelah beberapa ratus pertama nilai min mungkin tidak kurang dari 0,99
Adakah yang bisa memberi saya penjelasan teoretis mengapa hal ini bisa terjadi ?.
Daftar 100.000 pertama dengan kolom C: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 ....
Daftar 100.000 pertama dengan kolom C: dengan kotak 1,4,9,16,25 ...
Daftar 100.000 pertama dengan kolom C: konstanta = 1
Terima kasih.
Jawaban
Apa motivasi dari jalinan komputasi yang rumit ini?
Membiarkan $B_2=3,B_3=5,\cdots $menjadi urutan Anda dari "anggota pertama dari pasangan prima kembar." Untuk beberapa alasan mulai dari indeks$2.$ Kami tidak tahu bahwa ini adalah urutan yang tidak terbatas tetapi sangat mencurigai bahwa itu bersama $B_n \approx k n (\ln n)^2$ untuk beberapa hal yang konstan $k.$ Ada dugaan $k$tapi itu tidak penting di sini. Jadi untuk penjelasan yang masuk akal kita bisa mengatakan itu$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ pasti lebih besar dari $1$tetapi mendekatinya dengan kecepatan rata-rata yang stabil. Mungkin dengan$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ Atau, menjadi sangat sembrono, $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
Angka-angka $E_n$ Anda menganalisis dengan tepat $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ jadi ada penjelasan Anda mengapa terkadang di atas $1$ dan terkadang di bawah, dengan konvergensi ke $1.$
Penggalian: Setelah beberapa pasangan pertama, setiap anggota urutan adalah $11,17$ atau $29 \bmod 30.$Mungkin ini memperkenalkan sedikit kekeruhan. Saya tidak tahu. Anda dapat memeriksa apakah over vs under$1$ perilaku berkorelasi dengan kelas kesesuaian $\bmod 30$ makhluk $11$ vs. $17$ atau $29.$ Jika ya, apakah perilaku ini sepertinya berlanjut atau mati?
Urutannya $C_1=1,C_2=3,\cdots $ dari bilangan segitiga memiliki $C_n=\frac{n(n+1)}2$ begitu $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ persis.
Anda mendefinisikan $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ dan kemudian, untuk $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
Jika bukannya bilangan prima kembar Anda menggunakan bilangan prima, dengan $p_n \approx n\ln n,$hasil harus hampir sama, mungkin kurang berombak. Jika alih-alih bilangan segitiga yang Anda gunakan kotak yang Anda miliki$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ yang sangat dekat $\frac{n-1}{n+1}$
Langkah selanjutnya untuk menambahkan suku-suku berurutan dari kolom sebelumnya atau mengambil rasio memberikan urutan yang menyatu atau tumbuh seperti itu. $n.$