Membuat matriks $M(c)=N(c)-L(c)$ pasti positif dengan memilih skalar $c$, dimana $N(c)$ adalah semi-pasti positif

Question

Membiarkan $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ dengan $n>m$ dan $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ dengan $n>k$ seperti yang $P^T P = I_m$ dan $Q^T Q = I_k$. Juga, asumsikan$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Kemudian, buktikan klaim berikut:

Ada disana $c>1$ sedemikian rupa sehingga matriks $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$pasti positif. (Itu adalah,$v^T M v > 0$ untuk semua $v\in\mathbb{R}^n$ seperti yang $v\neq 0$ atau, setara, semua nilai eigen dari $M$ berada di bidang setengah kompleks kanan terbuka.)

Apakah klaim di atas benar atau salah? Jika benar, bagaimana cara membuktikannya?

Catatan 1. Matriks$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ adalah semidefinite positif untuk semua $c$ karena itu dalam bentuk $H^T H$.

Catatan 2. Matriks$(I_n - cQQ^T)$ adalah positif semi-pasti untuk $c=1$ dan pasti positif untuk $0\leq c <1$. Tapi karena kami pertimbangkan$c>1$, matriks tersebut menjadi matriks non-pasti, yang berarti matriks tersebut memiliki nilai eigen positif dan negatif.

Answer 1

Membiarkan $P=w=Q$ dengan $\|w\|=1$, $c>1$, dan biarkan $v\cdot w=0$, $v\ne0$. Kemudian$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

Secara lebih umum, jika $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, kemudian $v^TMv\le0$.

---

Jawab pertanyaan yang diubah dengan $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

Membiarkan $m=1$, $n>2$, biarkan $P=w$ dengan $\|w\|=1$; membiarkan$Q$ menjadi seperti itu $Q^Tw=0$. Lalu, seperti sebelumnya$Mw=0$.