Memecahkan rekursi dengan analogi dengan persamaan diferensial

Question

Saya menemukan masalah ini:

---

Biarkan urutannya $u_n$ didefinisikan oleh istilah pertamanya $u_0 > 0$ dan $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Temukan rumus asimtotik untuk $u_n$.

---

Saya pikir kita bisa menyelesaikannya dengan analogi dengan persamaan $$f' = \frac{1}{f}$$ yang memberikan rumus asimtotik $u_n \sim \sqrt{2 n}$, dan ini memang jawaban yang benar.

Secara lebih umum, apakah kita mengambil $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, apa yang akan menjadi kondisi pada fungsi yang terus menerus, positif, dan menurun $f$ sedemikian rupa sehingga metode analogi dengan persamaan diferensial memberikan rumus asimtotik yang tepat?

Terima kasih banyak !

Answer 1

Seperti yang dicatat dalam komentar di bawah, jawaban ini salah

---

Seandainya $y$ adalah solusi dari persamaan diferensial $y' = f(y)$, dan $u_n$ memecahkan kekambuhan $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ dengan $u_0 = y(0)$. Dengan teorema nilai rata-rata, kita menemukan itu untuk semua$n$, ada a $c \in [n,n+1]$ untuk itu $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Karena $f$ menurun, kami punya $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Sekarang, anggap saja $w_n$ memuaskan $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, dan $w_0 = y(1)$. Kami menemukan secara induktif$u_n \leq y(n) \leq w_n$. Secara khusus, kami memahami jika ketidaksetaraan bertahan$n = k$, kemudian $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ dan ketidaksetaraan $y(k+1) \geq u_{k+1}$ bisa dilihat serupa.

Dengan itu, kita dapat menyimpulkan sebagai berikut: if $f$ sedemikian rupa sehingga kekambuhan $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ memiliki asimtotik yang sama untuk semua $u_0 > 0$, maka selanjutnya asimtotik urutan tersebut $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ dihasilkan dari solusi untuk $y' = f(y)$ dengan $y(0) > 0$ adalah sama.