Memindahkan diferensial/turunan eksterior di dalam produk baji
Asumsi : Mari$M$menjadi halus$m$-berjenis. (Jika diperlukan: Mari$M$berorientasi dan kemudian berorientasi. Membiarkan$M$menetal. Membiarkan$(M,g)$menjadi manifold Riemannian.)
Membiarkan$\Omega^jM$jadilah himpunan yang mulus$k$-formulir aktif$M$, untuk$j=0, 1, ..., m$. Membiarkan$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$menjadi diferensial eksterior / turunan pada$\Omega^jM$(berdasarkan$d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, dengan$\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
Membiarkan$k \in \{0, 1, ..., m\}$. Membiarkan$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
Pengamatan :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$adalah bentuk atas yang halus (alias halus$m$-membentuk)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$adalah bentuk atas yang halus (alias halus$m$-membentuk)
Pertanyaan 1 : Dengan asumsi pengamatan di atas benar, apakah mereka sama?
Pertanyaan 2 : Secara umum, dapatkah kita memindahkan diferensial/turunan eksterior melalui produk baji dan dikalikan saja?$(-1)^{\text{something}}$?
Pertanyaan 3 : Dalam hal di atas, apakah kita mengasumsikan hal-hal tambahan pada$M$suka berorientasi/berorientasi/kompak/Riemannian?
Soal 4 : Jika tidak untuk soal 1, maka apakah masing-masing dari 2 bentuk tersebut paling sedikit memiliki integral yang sama, yaitu nilai yang kita peroleh saat kita tancapkan masing-masing ke$\int_M$adalah sama? Di sini, sekarang kita anggap$M$berorientasi dan kemudian berorientasi dan saya kira kompak (jika tidak, saya kira kita harus menganggap formulir memiliki dukungan kompak atau sesuatu).
Konteks : Ini berasal dari beberapa definisi dan proposisi yang mengarah ke teorema dekomposisi Hodge, termasuk definisi operator bintang Hodge, tetapi saya mencoba untuk melihat apakah saya memahami bagian-bagian non-Hodge dengan benar. ($\gamma$sebenarnya adalah gambar dari beberapa$\beta \in \Omega^{k+1}M$di bawah operator bintang Hodge.)
Jawaban
Berikut ini adalah upaya jawaban.
Pertanyaan 1 Tidak perlu persamaan seperti itu. Yang benar itu$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
Dan menganggap kesetaraan Anda benar akan mengarah pada asumsi$d(\alpha\wedge\gamma)$
Berikut adalah contoh tandingan yang konkret:\begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
Soal 2 jawabannya tidak. Lihat di atas.
Pertanyaan 3 di atas, perhitungannya bersifat lokal, sehingga tidak bergantung pada kekompakan atau orientasi: perluas contoh tandingan dengan nol di luar bagan.
Pertanyaan 4 jawabannya masih tidak: pada contoh tandingan di atas,$d\alpha\wedge \gamma = 0$, dengan demikian memiliki integral nol, tetapi$\alpha\wedge d\gamma$adalah bentuk volume pada manifold berorientasi, ia memiliki integral bukan-nol.
Mengenai jawaban @ JanBohr, (yang mengarah ke dua jawaban yang merujuk sendiri), saya harus menambahkannya untuk berjaga-jaga$M$berorientasi, maka teorema Stokes menyatakan bahwa$$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$dan dengan demikian,$$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$dan dengan demikian ada (untuk menandatangani) kesetaraan segera setelah$M$tidak memiliki batas atau$\alpha\wedge \gamma$adalah nol pada$\partial M$.
Salah satu sifat yang menentukan dari diferensial eksterior adalah aturan Leibniz$$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$di mana$k$adalah derajat$\alpha$, lihat misalnya di wikipedia . Ini berlaku untuk manifold halus yang berubah-ubah, tidak perlu metrik atau orientasi Riemannian. Sebagai$k$dan$k^2$memiliki paritas yang sama, sisi kanan pada tampilan sebelumnya persis perbedaan antara Anda berdua$m$-formulir. Secara khusus mereka sama jika$\alpha \wedge \gamma$ditutup. Integral dari keduanya$m$-bentuk, katakan jika$M$berorientasi dan kompak, adalah sama hanya karena integral dari bentuk eksak adalah nol menurut teorema Stokes.
Mengenai contoh tandingan @DIdier_ untuk pertanyaan 4: Ini adalah situasi di mana integral batas dalam teorema Stokes tidak hilang (untuk domain mulus apa pun di$\mathbb{R}^n$). Di atas saya menghindari masalah ini dengan mengasumsikan$M$menjadi tanpa batas. Jalan keluar lainnya adalah dengan berasumsi bahwa$\alpha $dan$\gamma$memiliki dukungan kompak di interior.