Memperbaiki orientasi manifold halus yang terhubung ke dalam $\mathbb{R}^n$ dengan satu bagan
Saya belajar tentang Zorich, Mathematical Analysis II, 1st ed. pag. 174-175. Setelah menjelaskan dengan tepat bagaimana orientasi (kelas kesetaraan) didefinisikan untuk permukaan berdimensi k yang halus di$\mathbb {R} ^ n$ yang dapat dijelaskan dengan satu peta, lanjutkan ke kasus yang lebih umum dengan mendefinisikan arti dari:
- grafik yang konsisten,
- atlas orientasi,
- kelas kesetaraan untuk atlas orientasi (kemungkinan orientasi permukaan).
Setelah melakukan ini, ia menyatakan tanpa bukti bahwa permukaan k-dimensional halus yang terhubung hanya dapat memiliki dua kemungkinan orientasi. Dari pernyataan ini dia segera menyimpulkan bahwa untuk menetapkan orientasi pada permukaan jenis ini tidak perlu menunjukkan seluruh atlas bagan yang konsisten, tetapi cukup untuk menunjukkan satu bagan.
Saya mencoba untuk membuktikan mengapa, tapi saya tidak bisa. Saya berasumsi, dengan absurditas, bahwa saya memiliki dua atlas dengan orientasi berbeda, terbuat dari bagan yang konsisten berpasangan, berisi bagan umum$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
tetapi dari sini saya tidak bisa sampai ke absurditas apa pun. Adakah yang bisa membantu saya?
Jawaban
Saya akan menggunakan terminologi "manifold" daripada "surface", karena "surface" biasanya berarti 2-dimensi.
Biarkan saya menggunakan notasi $M$ untuk manifold yang dimaksud.
Anda harus entah bagaimana memanfaatkan hipotesis yang berlipat ganda itu $M$terhubung. Karena manifold terhubung secara lokal dengan jalur, Anda dapat menggunakan teorema bahwa ruang terhubung jalur lokal terhubung jalur terhubung.
Pertimbangkan grafik umum $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ di $A_1 \cap A_2$, dan perbaiki titik dasar $p \in U_1$.
Sekarang saya akan membuktikan secara langsung bahwa grafik apa pun masuk $A_1$ dan bagan apa pun di $A_2$ konsisten di setiap titik tumpang tindihnya.
Pertimbangkan apa saja $x \in M$, dan pilih grafik $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ di $A_1$ dan $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ di $A_2$, seperti yang $x \in U_I \cap U'_J$. Kami harus menunjukkan itu$\varphi_I$ dan $\varphi'_J$ konsisten pada intinya $x$.
Menggunakan konektivitas jalur manifold $M$, pilih jalur berkelanjutan $\gamma : [0,1]$ seperti yang $\gamma(0)=p$ dan $\gamma(1)=x$. Sejak set$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ penutup $M$, gambar terbalik mereka $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ penutup $[0,1]$. Menerapkan Lemma Nomor Lebesgue, kita dapat memilih bilangan bulat$N \ge 1$, dan membusuk $[0,1]$ menjadi sub-interval $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, yang seperti itu $\gamma(I_m)$ adalah bagian dari salah satu persimpangan $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
Kami tahu itu $\varphi_{i(1)}$ dan $\varphi'_{j(1)}$ keduanya konsisten satu sama lain di $\gamma(0)=p$, karena keduanya konsisten dengan $\varphi_1$. Pertimbangkan jalannya$\gamma \mid I_1$ dan biarkan $t \in I_1 = [0,1/N]$ berbeda dari $0$ untuk $1/N$. Sebagai$t$ bervariasi, penentu turunan peta tumpang tindih dari dua grafik $\varphi_{i(1)}$ dan $\varphi'_{j(1)}$ bervariasi terus menerus, itu bukan nol di mana-mana, dan positif pada $t=0$, karenanya positif pada $t=1/N$. Ini membuktikannya$\varphi_{i(1)}$ dan $\varphi'_{j(1)}$ konsisten di $\gamma(1/N)$.
Sekarang kita melakukan pembuktian induksi: dengan asumsi induksi itu $\varphi_{i(m)}$ dan $\varphi'_{j(m)}$ konsisten di $\gamma(m/N)$, kami buktikan $\varphi_{i(m+1)}$ dan $\varphi'_{j(m+1)}$ konsisten di $\gamma((m+1)/N)$. Sejak$\varphi_{i(m)}$ dan $\varphi_{i(m+1)}$ konsisten di $\gamma(m/N)$, dan sejak $\varphi'_{j(m)}$ dan $\varphi'_{j(m+1)}$ konsisten di $\gamma(m/N)$, itu mengikuti itu $\varphi_{i(m+1)}$ dan $\varphi'_{j(m+1)}$ konsisten di $\gamma(m/N)$. Sekarang buktinya berlanjut seperti pada paragraf sebelumnya, menggunakan kontinuitas determinan dari turunan peta tumpang tindih dari dua grafik$\varphi_{i(m+1)}$ dan $\varphi'_{j(m+1)}$ di $\gamma(t)$, sebagai $t \in I_{m+1}$ bervariasi dari $m/N$ untuk $(m+1)/N$, dan konsistensi bagan tersebut pada $\gamma(m/N)$, untuk menyimpulkan konsistensi pada $\gamma((m+1)/N)$. Ini menyelesaikan langkah induksi.
Untuk melengkapi buktinya, kami telah menunjukkan itu $\varphi_{i(N)}$ dan $\varphi'_{j(N)}$ konsisten di $\gamma(N/N)=x$. Kami juga tahu itu$\varphi_I$ konsisten dengan $\varphi_{i(N)}$, dan $\varphi'_J$ konsisten dengan $\varphi'_{j(N)}$ di $x$. Karena itu,$\varphi_I$ dan $\varphi'_J$ konsisten di $x$.
Membiarkan $M$ jadi milikmu $k$permukaan -dimensi bijih sehubungan dengan grafik $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ seperti yang $\omega$tidak menghilang di setiap titik. Ini dimungkinkan sejak$M$ berorientasi. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ dimana $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ dan $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$adalah fungsi halus yang tidak menghilang. Karena grafiknya konsisten, semuanya$g_i$Itu positif atau semuanya negatif. Asumsikan bahwa semua file$g_i$itu positif.
Sekarang Anda memiliki grafik $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ Seperti sebelumnya $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ dan ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. Dengan logika yang sama seperti di atas, kita mendapatkan keduanya$\{g_1, h_j \}_j$semua adalah fungsi positif atau semuanya negatif. Tapi sejak$g_1$ positif, kita mendapatkan semuanya $h_j$itu positif. Dengan demikian Anda mendapatkan orientasi yang sama.