Menafsirkan teori real monadik dalam teori monadik tatanan linier.
Di bawah ini adalah kutipan dari Gurevich, Shelah - Interpreting Second Order Logic dalam Monadic Theory of Order . Saya mencoba untuk memahami bagaimana teori monadik dari garis nyata dapat diinterpretasikan dalam teori tatanan monad (mereka tidak memasukkan penjelasan atau bukti lebih lanjut, hanya mengatakan bahwa hal itu dapat dilakukan dengan mudah).
Berikut adalah beberapa definisi yang mungkin berguna. Jika$(\alpha,<)$ adalah tatanan linier kemudian oleh 'teori monadik $\alpha$'adalah teori struktur orde pertama $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ dimana $<$ adalah urutan $\alpha$diberikan pada subset tunggal. 'Teori tatanan monadik' adalah perpotongan dari semua teori tatanan pertama ini yang kami izinkan$\alpha$ untuk memvariasikan semua pesanan linier.
Apakah mungkin ada beberapa aksioma rekursif $T_{\mathbb{R}}$ sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil persatuan teori tatanan monad dengan $T_{\mathbb{R}}$ kami mendapatkan teori struktur lengkap $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Perlu dicatat, baik teori tatanan monadik maupun teori monadik$\mathbb{R}$ tidak dapat diputuskan).
Saya tidak dapat menemukan interpretasi 'mudah' ini tetapi merasa saya mungkin melewatkan sesuatu yang jelas.
Jawaban
Saya tidak melihat cara memperbaiki strategi asli saya - khususnya, meskipun saya tidak memiliki contoh balasan, saya curiga bahwa "adalah urutan linier lengkap Dedekind tanpa titik akhir atau titik terisolasi, yang semua subordernya memiliki kofinalitas dan coinitiality $\le \omega$" tidak selalu dijabarkan$\mathbb{R}$ hingga isomorfisme.
Namun, kami masih bisa mendapatkan pengurangan yang diharapkan (meskipun sekilas ini tidak menghasilkan interpretasi per se - masih memikirkannya). Katakanlah itu urutan linier$A$ aku s $\mathbb{R}$ish jika Dedekind-complete dan tidak memiliki titik akhir atau titik terisolasi. Pengamatan kuncinya adalah sebagai berikut:
(Lemma) Setiap$\mathbb{R}$Urutan ish memiliki subordo isomorfik ke $\mathbb{R}$, dan setiap $\mathbb{R}$subordo ish dari $\mathbb{R}$ isomorfik untuk $\mathbb{R}$.
Intinya kemudian adalah itu $\mathbb{R}$duduk di bagian bawah kelas pengurutan yang dapat ditentukan MSO dalam arti yang dapat ditentukan MSO. Jadi kita bisa melakukan terjemahan berikut:
(Definisi) Untuk kalimat MSO$\varphi$, biarkan $\hat{\varphi}$ menjadi kalimat MSO "Setiap $\mathbb{R}$urutan ish memiliki $\mathbb{R}$suborder ish memuaskan $\varphi$. "
Demi lemma kami memilikinya $\hat{\varphi}$ adalah bagian dari teori urutan MSO iff $\mathbb{R}\models\varphi$:
Jika $\mathbb{R}\not\models\varphi$ kemudian $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, karena semuanya $\mathbb{R}$subordo ish dari $\mathbb{R}$ isomorfik untuk $\mathbb{R}$ per lemma dan karenanya juga tidak memuaskan $\varphi$.
Sebaliknya jika $\mathbb{R}\models\varphi$ lalu setiap $\mathbb{R}$urutan linier ish memiliki a $\mathbb{R}$suborder ish memuaskan $\varphi$ - yaitu, setiap subordo isomorfik ke $\mathbb{R}$ sendiri, yang dijamin ada sesuai lemma.
Peta $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ jelas dapat dihitung, jadi kami mendapatkan pengurangan sebesar $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ ke teori tatanan monadik seperti yang diinginkan.