Menemukan fungsi jarak $1$ dari $x^2$ sepanjang normalnya [duplikat]

Question

Jadi saya baru-baru ini memikirkan sebuah masalah, yang telah saya coba selesaikan dengan banyak cara tetapi tidak bisa. Sangat sederhana untuk menggambarkan ...

Temukan fungsi jarak $1$ dari parabola $y=x^2$sepanjang normalnya. Visual dari apa yang saya maksud .

---

Ini salah satu hal yang saya coba ...

Fungsi ini akan mendapatkan yang sesuai $x$ nilai pada fungsi yang ingin kita temukan dari $x$ nilai pada kurva $y=x^2$. Pembalikan akan memberikan korespondensi$x $ menghargai $x^2$ untuk diberikan $x$ nilai yang akan membuatnya mudah untuk menentukan $y$ nilai. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Ini dapat diselesaikan untuk ini ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Namun saya tidak tahu bagaimana mendapatkan kebalikan dari fungsi ini.

Answer 1

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ begitu $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ atau, menurut Wolfy, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

Ini adalah quartic in $x$ yang bisa diselesaikan tetapi sangat berantakan seperti yang diharapkan.

Answer 2

Saya telah menemukan persamaan parametrik dari lokus

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$

---

Answer 3

Kita dapat memodifikasi dengan mengimbangi dari parameterisasi standar. Bekas$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ di plot (digunakan offset 0,2 sebagai ganti 1,0 untuk kejelasan grafik).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Kami menambah atau menghapus jarak sepanjang normal dan garis singgung dengan offset $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$