Mengapa ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, kapan $\cal U$ adalah $\delta$-lengkap ultrafilter halus $\cal P_\kappa(\alpha)$?
Argumen berikut muncul dalam bukti Teorema 4.7. dalam kelompok kertas Bagaria-Magidor radikal dan kardinal yang sangat kompak .
Membiarkan $\delta<\kappa$ menjadi kardinal tak terhitung yang mungkin tunggal dan biarkan $\alpha$ menjadi ordinal seperti itu $\alpha\geq\kappa$. Misalkan ada a$\delta$ukuran halus -lengkap $\mathcal{U}$ di $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, itu adalah $\delta$-lengkap ultrafilter $\mathcal{U}$ di $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ seperti yang $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ untuk setiap $a\in\alpha$. Membiarkan$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$menjadi embedding ultrapower yang sesuai. Sejak$\mathcal{U}$ adalah $\delta$-selesai, kalau begitu $Ult(V,\mathcal{U})$beralasan. Apalagi juga oleh$\delta$-kelengkapan, titik kritis $j_{\mathcal{U}}$ lebih besar atau sama dengan $\delta$. Sekarang pertanyaan saya:
Mengapa $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?
Terima kasih sebelumnya.
(Saya akan menambahkan tag ultrapowers jika ada, tetapi tidak dan saya tidak memiliki reputasi untuk membuatnya).
Jawaban
Ingat bahwa $j_{\mathcal U}(\kappa)$ adalah (gambar di bawah keruntuhan transitif dari) kelas kesetaraan dalam ultrapower dari fungsi konstan $c$ dengan nilai $\kappa$. Jadi, dengan teorema Los, yang perlu dibuktikan adalah itu$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ untuk $\mathcal U$-hampir semua $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. Itu adalah,$|a|<\kappa$ untuk hampir semua $a$. Tapi sebenarnya ketidaksetaraan ini berlaku untuk semua$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, menurut definisi $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.