Mengapa tindakan Z terkontrol tidak diubah dengan menukar qubit kontrol target?

Question

Dalam buku "Ilmu Komputer Quantum", saat menjelaskan kode koreksi kesalahan, ia menggunakan gambar ini dan mengatakan "tindakan yang dikontrol-z tidak diubah dengan menukar qubit target dan kontrol".

Apakah ini berarti bahwa tindakan cZ (kontrol ancilla qubit dan target codeword qubit) sama dengan cz (kontrol codeword qubit dan target ancilla qubit)? Jika demikian, mengapa demikian?

Menurut pemahaman saya, | 1> Z | 0> (qubit pertama adalah qubit kontrol) tidak sama dengan Z | 0> | 1> (qubit kedua adalah qubit kontrol).

Answer 1

Jika kita memiliki status dua qubit yang berubah-ubah:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

lalu setelah melamar $CZ_{1 \rightarrow 2}$ dikendalikan dari qubit pertama kita akan memperoleh:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

karena operasi kontrol bekerja saat qubit kontrol aktif $|1\rangle$ dan $Z$ gerbang mengubah tanda amplitudo $|1\rangle$ negara, karenanya $CZ_{1 \rightarrow 2}$ tindakan mengubah tanda $|11\rangle$.

Sekarang tindakan $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Hal yang sama berlaku di sini hanya tanda dari $|11\rangle$harus diubah karena alasan yang sama. Hal ini dapat dilihat juga dengan menggunakan matriks:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$