Menunjukkan ruang vektor bernorma adalah jumlah langsung dari subruang tertutup dan subruang satu dimensi.
Di bawah ini adalah latihan 7 dari ruang-ruang pendamping IV Banach dalam Analisis Nyata dan Fungsional Lang:
Membiarkan $F$ menjadi subruang tertutup dari ruang vektor bernorma $E$, dan biarkan $v\in E, v\notin F$. Menunjukkan bahwa$F+ \Bbb{R}v$ditutup. Jika$E=F+ \Bbb{R}v$, menunjukkan bahwa $E$ adalah jumlah langsung dari $F$ dan $\Bbb Rv$ (artinya peta $\phi(f,rv)= f+rv$ adalah isomorfisme toplinear dari $F\times \Bbb Rv$ untuk $E$, yaitu homeomorfisme dan isomorfisme).
Saya bisa buktikan $F+ \Bbb{R}v$ ditutup dengan melihat ruang hasil bagi $E/F$. Seperti gambar$F+ \Bbb{R}v$ di bawah peta hasil bagi $\rho$ bersifat homeomorfik bagi $\Bbb R$, itu secara otomatis ditutup $E/F$, yang gambar kebalikannya ditutup $E$ dengan kontinuitas $\rho$. Tapi$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, dengan demikian membuktikan kedekatan dari $F+ \Bbb{R}v$. Tapi saya tidak bisa menunjukkan pernyataan terakhir. Itu sudah cukup untuk menunjukkan itu$\phi$ adalah peta terbuka, yang berarti menunjukkan $U_1+U_2$ terbuka jika $U_1$ dan $U_2$ adalah subset terbuka dari $F$ dan $\Bbb Rv$, masing-masing. Lang menyebutkan bahwa ini merupakan konsekuensi mudah dari teorema open mapping, yang merupakan hasil yang lebih umum. Namun, bukankah itu mengasumsikan kelengkapan$E$? Saya mencoba menggunakan teknik ruang hasil bagi, tetapi tampaknya tidak berlaku di sini sebagai$U_1+U_2$tidak perlu jenuh. bagaimana saya harus melanjutkan? Terima kasih sebelumnya.
Jawaban
Membiarkan $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ didefinisikan oleh $\phi(f,rv):=f+rv$.
Ini kontinu karena merupakan komposisi penjumlahan dan perkalian skalar. Ini jelas linier. Ini berdasarkan hipotesis, dan satu-satu sejak$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$
Karenanya $\phi$ dapat dibalik dan yang tersisa untuk ditampilkan adalah $f+rv\mapsto(f,rv)$ terus menerus.
Dengan teorema Hahn-Banach, sejak $F$ ditutup, ada fungsional yang berkelanjutan $\psi$ norma unit sedemikian rupa $\psi F=0$ tapi $\psi(v)=t\ne0$. Membiarkan$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. Kemudian$\pi$ adalah proyeksi kontinu dengan gambar $\mathbb{R}v$ dan kernel $F$, itu adalah \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Ini mengikuti itu $E=F\oplus\mathbb{R}v$.