Menyederhanakan $\sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right]$.

Aug 17 2020

Ini adalah Latihan 6 dari halaman 44 dari Analisis I oleh Amann dan Escher.

Olahraga:

Sederhanakan jumlahnya

\begin{align*} S(m, n) := \sum_{k = 0}^n \left[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \right] \end{align*}

untuk $m, n \in \mathbb N$.

Petunjuk: untuk $1 \leq j < \ell$ kita punya $\binom{\ell}{j} - \binom{\ell}{j - 1} = \binom{\ell + 1}{j} - 2\binom{\ell}{j - 1}$.

Upaya saya:

Sayangnya saya tidak mengerti bagaimana menggunakan petunjuk itu. Saya tidak melihat bagaimana hal itu sesuai dengan ekspresi dalam penjumlahan.

\begin{align*} \sum_{k = 0}^n \Bigg[ \binom{m + n + k}{k} 2^{n + 1 - k} - \binom{m + n + k + 1}{k} 2^{n - k} \Bigg] &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} 2 - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} + \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k + 1}{k} \Big] \Bigg]\\ &= \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg] \text{ (Pascal)}. \end{align*}

Pada titik ini saya terjebak. Saya tidak yakin apakah ini jalan buntu, terutama karena saya tidak menggunakan petunjuknya. Saya menghargai bantuan apapun.

Jawaban

3 MikeEarnest Aug 17 2020 at 23:46

Dimulai dengan $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m + n + k}{k} - \binom{m + n + k}{k - 1} \Big] \Bigg], $$ dan menggunakan petunjuk dengan $\ell=m+n+k$ dan $j=k$, kita mendapatkan $$ \sum_{k = 0}^n \Bigg[ 2^{n - k} \Big[ \binom{m+n+k+1}{k} - 2\binom{m+n+k}{k - 1} \Big] \Bigg]=\sum_{k = 0}^n\left(2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}-2^{n-k+1}\binom{m+n+k}{k - 1}\right). $$Ini adalah jumlah teleskop, sehingga dapat dengan mudah dievaluasi. Yakni, membiarkan$$ a_k=2^{n-k}\binom{m+n+k+1}{k}, $$ maka jumlah yang dimaksud sama dengan $$ \sum_{k=0}^n (a_k-a_{k-1}), $$ ke teleskop mana $a_n-a_{-1}$.