Metrik terbalik untuk dekomposisi 3 + 1

Question

Saya mencoba membaca tentang dekomposisi ruangwaktu 3 + 1 dari bagian 12.2 buku Padmanabhan Gravitation Foundations and Frontiers. Namun, sumber lain juga dapat memberikan konteks untuk pertanyaan saya.

Begitu sistem koordinat $(t,y^\alpha)$ telah diadopsi pada ruangwaktu dari foliation, $x^a=x^a(t,y^\alpha)$, lalu kita bisa menulis (juga buku menggunakan konvensi $a=0,1,2,3$; $\alpha=1,2,3$ atau indeks latin mewakili spasiwaktu dan indeks yunani hanya spasi), \begin{align} dx^a&=\frac{\partial x^a}{\partial t}dt+\frac{\partial x^a}{\partial y^\alpha}dy^\alpha\nonumber\\ &=t^adt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha\right)dt+e^a_\alpha dy^\alpha\nonumber\\ &=\left(Ndt\right)n^a+\left(N^\alpha dt+dy^\alpha\right)e^a_\alpha \end{align} Di mana kami telah menggunakan fakta bahwa garis singgung kurva parametrized oleh $t$ adalah $t^a=\partial x^a/\partial t=Nn^a+N^\alpha e^a_\alpha$; dan$N$disebut fungsi selang dan$N^\alpha$disebut vektor pergeseran .$e^a_\alpha=\partial x^a/\partial y^\alpha$ adalah tangen ke permukaan hiper yang disebut tetrad.

Elemen garis (kuadrat) sekarang menjadi, \begin{align} ds^2&=g_{mn}dx^mdx^n\nonumber\\ &=g_{mn}\left[\left(Ndt\right)n^m+\left(N^\alpha dt+dx^\alpha\right)e^m_\alpha\right]\left[\left(Ndt\right)n^n+\left(N^\beta dt+dx^\beta\right)e^n_\beta\right]\nonumber\\ &=-N^2dt^2+h_{\alpha\beta}\left(dx^\alpha+N^\alpha dt\right)\left(dx^\beta+N^\beta dt\right), \end{align} sini, \begin{align} h_{\alpha\beta}=g_{mn}e^m_\alpha e^n_{\beta}=g_{\alpha\beta}. \end{align} Metrik dapat dibaca dari elemen baris di atas, \begin{align} g_{00}=-N^2+N_\gamma N^\gamma,\quad g_{0\alpha}=N_\alpha,\quad g_{\alpha\beta}=h_{\alpha\beta} \end{align} Dalam bentuk matriks, \begin{align} g_{mn}=\begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \end{align}

Pertanyaan saya adalah bagaimana menghitung kebalikan dari metrik ini?

Saya sudah mencoba melakukan itu tetapi tidak berhasil kecuali untuk komponennya $g^{00}$dan saya tidak yakin apakah derivasi itu benar. Jadi izinkan saya menjelaskan proses berikut ini.

Sekarang, sebagai $\partial_a t=\delta^t_a=\delta^0_a$ dalam sistem koordinat $(t,y^\alpha)$. Jadi,\begin{align} g^{00}&=g^{ab}\partial_a t\partial_b t\nonumber\\ &=\frac{1}{N^2}g^{ab}n_an_b\nonumber\\ &=-N^{-2}. \end{align} Di mana saya telah menggunakan fakta bahwa vektor normal didefinisikan sebagai $n_a=-N\partial_a t$ dan normalisasi untuk permukaan-permukaan yang menyerupai ruang angkasa adalah sedemikian rupa $n^an_a=-1$.

Dalam buku tersebut, komponen untuk metrik invers diberikan menjadi, \begin{align} g^{00}=-N^{-2},\quad g^{0\alpha}=N^{-2}N^{\alpha},\quad g^{\alpha\gamma}=h^{\alpha\gamma}-N^{-2}N^\alpha N^\gamma \end{align}

Oleh karena itu jawaban yang saya cari adalah turunan langkah demi langkah dari metrik terbalik yang diberikan komponen metrik dan juga seseorang harus memverifikasi apakah perhitungan saya untuk $g^{00}$benar. Terima kasih.

Answer 1

Biarkan saya melakukannya untuk sekali dan untuk semua. Meskipun pertanyaan tersebut telah dijawab oleh spiridon, saya ingin memberikan turunan formal karena jawaban spiridon melibatkan pekerjaan menebak. Kami memiliki situasi di mana kami perlu menghitung invers dari matriks yang dipartisi. Jadi mari kita pertama-tama mendapatkan rumus umum untuk kebalikan dari matriks yang dipartisi dan kemudian kita akan menerapkannya ke metrik.

Biarkan dua non-tunggal $n\times n$ matriks $A$ dan $B$ dipartisi sebagai berikut, \begin{align} A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}. \end{align} Membiarkan $A_{11}$ dan $B_{11}$ menjadi $k\times k$ matriks dengan $k<n$. Kami juga akan berasumsi,\begin{align} \det (A_{11})\neq0;\quad\det (A_{22})\neq0. \end{align} Sekarang, jika $B=A^{-1}$, maka kita akan mencari matriks komponen $B$ dalam hal matriks komponen $A$. Kita punya,\begin{align} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_{k\times k} & O_{k\times n-k}\\ O_{n-k\times k} & I_{n-k\times n-k} \end{pmatrix} \end{align} Hubungan matriks ini tereduksi menjadi, \begin{align} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&=I_{k\times k}\qquad &&(1)\\ A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}&=O_{k\times n-k}\qquad &&(2)\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&=O_{n-k\times k}\qquad &&(3)\\ A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}&=I_{n-k\times n-k}\qquad &&(4) \end{align} Dari (2) dan (3) kita punya, \begin{align} B_{12}=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}\\ B_{21}=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11} \end{align} Mensubstitusikan ini menjadi (1) dan (4), kita dapatkan, \begin{align} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)B_{11}&=I_{k\times k}\\ \left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)B_{22}&=I_{n-k\times n-k} \end{align} Karenanya, \begin{align} B_{11}&=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\\ B_{22}&=\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{align} Sekarang mengganti ini menjadi (2) dan (3), kita dapatkan, \begin{align} B_{12}&=-A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}=-A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ B_{21}&=-A_{22}^{-1}A_{21}B_{11}=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} \end{align} Karena itu, \begin{align} B=A^{-1}=\begin{pmatrix} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1} \end{pmatrix} \end{align} Untuk tujuan kami, akan lebih mudah untuk memperluas, $\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}$dalam hal identitas matriks Woodbury . Pertama, mari kita dapatkan identitas. Perhatikan bahwa,\begin{align} U+UCVM^{-1}U=UC\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)=\left(M+UCV\right)M^{-1}U \end{align} Ini menyiratkan, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}UC=M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}, \end{align}mengingat semua invers yang diperlukan ada! Kemudian,\begin{align} M^{-1}&=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(M+UCV\right)M^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVM^{-1}\right)\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+\left(M+UCV\right)^{-1}UCVM^{-1}\nonumber\\ &=\left(M+UCV\right)^{-1}+M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align} Jadi, \begin{align} \left(M+UCV\right)^{-1}=M^{-1}-M^{-1}U\left(C^{-1}+VM^{-1}U\right)^{-1}VM^{-1} \end{align}Identitas di atas disebut identitas matriks Woodbury . Sekarang, mengidentifikasi$M=A_{22}$, $U=-A_{21}$, $C=A_{11}^{-1}$ dan $V=A_{12}$, kita mendapatkan, \begin{align} \left(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)^{-1}=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}. \end{align} Oleh karena itu, akhirnya kami memiliki, \begin{align} A^{-1}= \left( \begin{array}{c|c} \left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}\left(A_{22}-A_{21}A^{-1}_{11}A_{12}\right)^{-1}\\ \hline -A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1} &A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{array} \right) \end{align}Setelah mendapatkan rumus umum ini, mari kita kembali ke menghitung kebalikan dari metrik. Kita punya,\begin{align} g_{mn}= \left( \begin{array}{c|c} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha \\ \hline N_{\alpha} & h_{\alpha\beta} \end{array} \right) \end{align} Sekarang, \begin{align} A_{11}=-N^2+N_\gamma N^\gamma, \quad A_{12}=N_\alpha,\quad A_{21}=N_\alpha,\quad A_{22}=h_{\alpha\beta}. \end{align} Kami juga mencatat bahwa, $A_{22}^{-1}=(h_{\alpha\beta})^{-1}=h^{\alpha\beta}$. Kemudian,\begin{align} g^{00}=\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}=(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=-N^{-2}, \end{align} dan \begin{align} g^{\alpha 0}&=-A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A^{-1}_{22}A_{21}\right)^{-1}\nonumber\\ &=-h^{\alpha\beta}N_\beta(-N^2+N_\gamma N^\gamma-N_\alpha h^{\alpha\beta}N_\beta)^{-1}=N^{-2}N^\alpha=g^{0\alpha}, \end{align} dan akhirnya, \begin{align} g^{\alpha\beta}&=A_{22}^{-1}+A_{22}^{-1}A_{21}\left(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\right)^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\ &=h^{\alpha\beta}+h^{\alpha\gamma}N_\gamma\left(-N^2+N^\sigma N_\sigma-N_\xi h^{\xi\mu}N_\mu\right)^{-1}N_\rho h^{\rho\beta}\nonumber\\ &=h^{\alpha\beta}-N^{-2}N^\alpha N^\beta \end{align}Voila! Nikmati!

Answer 2

Nah, mungkin ada cara yang lebih jelas untuk melakukan ini, tanpa menebak-nebak. Saya akan mulai dari definisi matriks terbalik:$$ g^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu} = \delta_{\nu}^{\mu} $$ Atau lebih konkretnya: $$ \begin{pmatrix} -N^2+N_\gamma N^\gamma & N_\alpha\\ N_\alpha & h_{\alpha\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{00} & g^{0 \alpha}\\ g^{0 \alpha} & g^{\alpha \beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Ditulis dalam komponen: $$ \begin{align} (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{00} + N_\alpha g^{0 \alpha} = 1 \\ (-N^2+N_\gamma N^\gamma) g^{0\alpha} + N_\beta g^{\beta \alpha} = 0 \\ N_\alpha g^{0\beta} + h_{\alpha \gamma} g^{\gamma \beta } = \delta_\alpha^{\beta} \end{align} $$ Sekarang, menggunakan simetri $g_{\mu \nu}, h_{\mu \nu}$ di bawah pertukaran $\mu \leftrightarrow \nu$, orang mungkin melihat, bahwa ada $ D(D+1) / 2$ persamaan linier pada jumlah yang tidak diketahui yang sama, yang pada prinsipnya dapat diselesaikan.

Melakukan ini secara langsung tampaknya merupakan tugas yang membosankan, jadi ada tebakan yang masuk akal. Seandainya kita tahu itu$g^{00}$ adalah $-N^2$, secara umum ansatz bisa jadi $\alpha N^2 + \beta N_\alpha N^{\alpha}$, maka persamaan pertama segera diselesaikan dengan mengatur: $$ g^{0 \alpha} = N^{-2} N^{\alpha} $$Kemudian orang mungkin melihat baris kedua. Di sini wajar juga untuk berasumsi, itu$g^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} + b^{\mu \nu}$, dimana $b^{\mu \nu}$juga simetris. Substitusi ini memberikan:$$ -N^{\alpha} - N^{-2} N_\gamma N^\gamma N^{\alpha} + N^{\alpha} + N_\beta b^{\beta \alpha} = 0 $$ Di sini juga, orang dapat melihat, bahwa $b^{\mu \nu} = -N^{-2} N^{\beta} N^{\alpha}$ melakukan pekerjaan itu.

Answer 3

Jawaban ini sedikit memperluas spiridon, dan menyusun ulang bagian dari pengaturan OP dalam bahasa yang sedikit berbeda.

Metrik terbalik $g^{-1}$, sebagai tensor, adalah koordinat independen. Jadi, salah satu cara untuk menentukan komponen metrik terbalik dalam sistem koordinat tertentu, adalah dengan mengambilnya dari representasi independen koordinat. Intinya, jika metrik terbalik dalam basis$\{{\bf e}_a\}$ diberikan oleh $$ g^{-1} = g^{ab}\, {\bf e}_a \otimes {\bf e}_b, $$ kemudian komponennya diberikan oleh tindakan $g^{-1}$ atas dasar ganda $\{{\bf e}^a\}$: $$ g^{ab} = g^{-1}({\bf e}^a,{\bf e}^b). $$ Dekomposisi ruangwaktu 3 + 1 direalisasikan oleh permukaan datar (benar-benar permukaan hiper) dari bidang skalar $f$. Satuan normal adalah$n^a = - N g^{ab} \nabla_b f$. Dari unit normal$n^a$ seseorang dapat membuat proyektor paralel ($P_\parallel$) dan ortogonal ($P_\perp$) untuk itu. Komponennya diberikan oleh ekspresi$$ P_\parallel{}^{a}{}_{b} \equiv - n^a n_b, \qquad P_\perp{}^{a}{}_{b} \equiv \delta^a_b - P_\parallel{}^{a}{}_{b} = \delta^a_b - n^a n_b. $$ Dengan proyektor ini, seseorang dapat menentukan komponen metrik $g_{ab}$ dalam hal foliasi hypersurface: $$ g_{ab} = h_{ab} - n_a n_b \equiv P_\perp{}^{c}{}_{a} P_\perp{}^{d}{}_{b}g_{cd} - n_a n_b. $$ Bidang tensor $h_{ab}$adalah metrik yang diinduksi pada permukaan hiper, karena setiap kontraksi dengan unit normal menghilang. Demikian pula, seseorang dapat memverifikasi bahwa komponen metrik terbalik memenuhi$$ g^{ab} = h^{ab} - n^a n^b \equiv P_\perp{}^{a}{}_{c} P_\perp{}^{b}{}_{d}g^{cd} - n^a n^b.\tag{1}\label{inverse} $$ Pada permukaan yang tinggi $f=t$, yang satu memperkenalkan satu set koordinat satu parameter $y^\alpha$ yang bervariasi dengan mulus sebagai fungsi dari $t$. Ini menghasilkan satu set bidang vektor$e_\alpha{}^a \equiv \partial x^a/\partial y^\alpha$bersinggungan dengan hypersurface, yang berfungsi sebagai peta embedding dari hypersurface ke ruangwaktu. Secara khusus, metrik yang diinduksi dapat dinyatakan dalam koordinat baru ini melalui relasi$h_{\alpha\beta}=h_{ab}e_\alpha{}^a e_\beta{}^b$. Dalam sistem koordinat ini, vektor waktu$t^a$ umumnya tidak ortogonal terhadap permukaan hiper, tetapi dapat diuraikan menjadi ortogonal $N$ dan tangensial $N^\alpha$ bagian: $$ t^a = Nn^a + N^\alpha e_\alpha{}^a.\tag{2}\label{decomposition} $$ Catat itu $\nabla_a f = -N^{-1}n_a$ ganda dengan vektor waktu $t^a$. Substitusi dari \ eqref {dekomposisi} menjadi \ eqref {inverse} kemudian menghasilkan$$ g^{\mu\nu} = - N^{-2} t^\mu t^\nu + N^{-2} t^\mu N^\alpha e_\alpha{}^\nu + N^{-2} t^\nu N^\alpha e_\alpha{}^\mu + \left(h^{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta \right) e_\alpha{}^a e_\beta{}^b. $$ Komponen metrik terbalik dalam sistem koordinat yang diberikan kemudian dapat ditemukan dengan kontraksi: \begin{align} g^{00} &= g^{ab}\nabla_a f \nabla_b f = - N^{-2},\\ g^{0\alpha} &= g^{ab} \nabla_a f\; e_b{}^\alpha = N^{-2} N^\alpha= g^{a0},\\ g^{\alpha\beta} &= g^{ab}e_a{}^\alpha e_b{}^\beta = h_{\alpha\beta} - N^{-2} N^\alpha N^\beta. \end{align}

Referensi:

• E.Poisson (2007), A Relativist's Toolkit - bab 3, 4
• E.Gourgoulhon (2012), 3 + 1 Formalisme dan Dasar Relativitas Numerik - bab 2, 3