Penurunan transformasi lowpass ke bandpass

Dec 04 2020

Saya punya pertanyaan dasar.

Transformasi lowpass ke bandpass yang "terkenal" adalah $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ yang memberikan fungsi transfer bandpass $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Intuisi saya adalah bahwa bandpass seharusnya merupakan hasil dari lowpass dan highpass. Namun, produk ini memberikan fungsi transfer yang berbeda:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ yang menunjukkan bahwa transformasi bandpass tidak memberikan rangkaian lowpass dan highpass ini.

  • Pertanyaan saya adalah, bagaimana transformasi bandpass dirancang, baik dalam hal menggabungkan filter lowpass atau penempatan tiang?

  • Pertanyaan terkait, tetapi menggunakan teknik penurunan yang berbeda, dan referensi dibuat untuk penurunan lowpass / highpass, tetapi tidak ditampilkan: Bagaimana transformasi lowpass ke bandpass diturunkan?

Jawaban

4 MattL. Dec 05 2020 at 00:30

Anda benar bahwa perkalian antara low pass dan high pass filter menghasilkan band pass filter, selama frekuensi cut-off dari low pass lebih tinggi daripada frekuensi cut-off dari high pass. Permasalahan dengan pendekatan tersebut adalah low pass filter dan high pass filter dengan besaran respon yang optimal menurut beberapa kriteria yang dipilih (Butterworth, Chebyshev, Cauer) tidak akan menghasilkan band pass filter yang optimal.

Di sisi lain, memetakan satu filter optimal akan menghasilkan filter optimal lainnya. Menggunakan$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, dimana $\omega_l$ dan $\omega_u$ adalah tepi pita bawah dan atas, masing-masing, dan $\omega_0$ adalah frekuensi tengah dari band pass filter, dan mengabaikan konstanta demi kesederhanaan, transformasi dapat ditulis sebagai

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Perhatikan itu $\omega_l$ dan $\omega_u$ dilambangkan sebagai $\omega_1$ dan $\omega_2$ di OP, tetapi mereka digunakan dengan cara yang berbeda pada gambar di bawah.]

Pemetaan $(1)$ memetakan DC ($\omega=0$) ke frekuensi tengah yang diinginkan $\omega_0$. Selanjutnya,$s=\pm\infty$ dipetakan ke $s=0$ dan $s=\infty$. Jadi seluruh sumbu frekuensi dari low pass filter dipetakan ke sumbu frekuensi positif dari band pass filter. (Hal yang sama berlaku untuk sumbu setengah negatif dari band pass filter):

(dari: Desain Filter Digital oleh Taman dan Burrus)