Perhitungan yang melibatkan bentuk diferensial yang kompleks

Question

Saya membaca catatan kuliah tentang geometri kompleks dan saya terjebak pada satu komputasi (yang tampaknya mendasar) yang melibatkan bentuk diferensial kompleks. Seharusnya$X$ adalah permukaan yang kompleks dan $\omega$ adalah bentuk holomorfik (1,0), yaitu $\omega$ dibunuh oleh operator $\overline{\partial}$. Membiarkan$\overline{\omega}$menjadi bentuk konjugasi (0,1) yang sesuai. Penulis mengklaim itu

\ begin {persamaan *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {persamaan *}

Sekarang sejak $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, sisi kanan tidak lain adalah $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. Tapi saya tidak bisa melihat bagaimana sisi kiri bisa ditulis dengan ekspresi yang sama (menggunakan aturan biasa untuk turunan eksterior). Setiap wawasan akan dihargai.

Answer 1

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ adalah tiga bentuk sedangkan RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$adalah empat bentuk. Mereka tidaklah sama.

Melihat catatan itu, mereka menulis

Sekarang dengan Teorema Stokes $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (karena $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

Saya percaya itu hanya salah ketik dan mereka mungkin bermaksud demikian $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$