Peringkat dari grup terbatas dan representasinya

Question

$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Membiarkan $G$ menjadi kelompok terbatas, dan $C=\Rep(G)$ menjadi kategori monoidal dari representasi dimensi hingga kompleks $G$. Sebagai$C$ terbatas dan semisimple, seseorang bisa mendapatkan semua representasi $\oplus$ dan satu set yang terbatas $I$representasi yang tidak dapat direduksi. Menurut teori karakter klasik, ada bijection (non-kanonik) di antara keduanya$I$ dan $\mathrm{Conj}(G)$. Dalam utas ini, saya berharap dapat memahami bijection, jika ada, antara kedua sisi dengan pertimbangan$\otimes$.

Lebih tepatnya, biarkan $V$ menjadi representasi setia yang tidak dapat direduksi $G$. Kemudian setiap representasi muncul sebagai submodul dari$V^{\otimes n}$ untuk beberapa $n$(cf this and this ), dan sebaliknya! Kami kemudian mengatakan itu$V$ menghasilkan sendiri $C$ dibawah $\otimes$dan penyelesaian Cauchy. Namun, tidak setiap kelompok memiliki perwakilan setia yang tidak dapat direduksi. Dalam posting yang sama , kita dapat melihat bahwa ini sebagian besar berkaitan dengan "pangkat" dari masyarakat$G$.

Untuk meringkas, tentukan peringkatnya, $\rank(G)$, menjadi jumlah minimal elemen yang dibutuhkan untuk menghasilkan $\mathrm{socle}(G)$dalam konjugasi. Tentukan peringkatnya,$\rank(C)$, menjadi jumlah minimal elemen tak tersederhanakan yang diperlukan untuk dihasilkan $C$ dibawah $\otimes$dan penyelesaian Cauchy. Kemudian

$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$

Pertanyaan

Apakah persamaan ini digeneralisasikan untuk

$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$

untuk setiap bilangan asli $n$?

( EDIT Seperti yang ditunjukkan Qiaochu dalam komentarnya, ini berlaku untuk kelompok abelian terbatas oleh dualitas Pontrjagin.)

Answer 1

Jawaban atas pertanyaan Anda adalah ya dan merupakan teorema utama makalah Žmudʹ, È. M. Pada representasi linier isomorfik dari kelompok berhingga. Tikar. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.

Ini dapat ditemukan dalam Teorema 5 di halaman 245 Karakter Grup Hingga. Bagian 1. oleh Berkovich dan Žmudʹ. Teorema ini diutarakan dengan cara yang berbeda, tetapi ekivalen, dan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip dengan teorema Gaschutz.

Teorema Žmudʹ mengatakan itu $G$ memiliki representasi yang setia dengan $k$ konstituen yang tidak dapat direduksi jika dan hanya jika masyarakat $G$ dapat dibuat sebagai subgrup normal paling banyak $k$elemen. Secara khusus, jumlah generator normal yang paling sedikit$\mathrm{socle}(G)$ bertepatan dengan jumlah konstituen tak tersederhanakan yang paling sedikit dalam beberapa representasi setia $G$.

Sekarang sudah cukup untuk mengamati $\mathrm{rank}(C)$ adalah jumlah minimal konstituen yang tidak dapat direduksi dalam representasi setia $G$. Memang, jika$V$ adalah representasi yang setia, maka teorema Burnside (atau generalisasi R. Steinberg) menunjukkan bahwa setiap modul yang tidak dapat direduksi adalah penjumlahan langsung dalam kekuatan tensor $V$ dan konstituen yang tidak dapat direduksi dari $V$ menghasilkan $C$di bawah produk tensor, penjumlahan langsung dan pengambilan penjumlahan langsung. Di sisi lain, jika$\rho_1,\ldots, \rho_k$ adalah representasi yang tidak dapat direduksi yang jumlah langsungnya tidak setia $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ bertindak sebagai identitas pada semua modul dalam subkategori yang dihasilkan oleh modul sederhana yang sesuai di bawah operasi penjumlahan langsung, produk tensor dan pengambilan ringkasan langsung sehingga representasi yang tidak dapat direduksi ini tidak dapat menghasilkan $C$.

Jadi $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$