Permintaan referensi: Persamaan diophantine
Saya mencari buku teks, atau lebih disukai kuliah, tentang subjek persamaan Diophantine. Saya akrab dengan prinsip dasar aritmatika modular, kerucut dan Prinsip Hasse, dan dasar-dasar kurva elips, Teorema Mordell, dll (meskipun saya tidak sampai pada titik di mana saya dapat memahami buktinya).
Yang saya butuhkan adalah sesuatu yang membawa saya melampaui dasar. Sesuatu yang akan mengajari saya teori lanjutan, dan juga mengajari saya tentang permukaan diophantine (bukan hanya kurva).
Jawaban
Ini mungkin pilihan yang baik untuk seseorang yang (seperti Anda) secara dangkal telah mengenal beberapa definisi dan metode geometri Diophantine:
- Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Diophantine Geometry: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.
Dua berikut ini adalah artikel ekspositori yang bagus (terutama yang pertama), yang memberi saya banyak inspirasi saat itu:
Mazur, Barry. Aritmatika pada kurva. Banteng. Amer. Matematika. Soc. (NS) 14 (1986), no. 2, 207--259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167
Mazur, Barry. Tentang perjalanan dari lokal ke global dalam teori bilangan ( tautan )
Henri Darmon memiliki beberapa artikel bagus tentang topik poin rasional pada kurva:
Poin rasional pada kurva ( tautan )
Titik rasional pada kurva elips modular ( tautan )
Anthony Varilly-Alvarado memiliki sejumlah pengantar yang sangat bagus untuk topik poin rasional pada berbagai jenis permukaan:
Kuliah tentang Aritmatika permukaan del Pezzo ( link )
Aritmatika permukaan K3 ( tautan )
Alexei Skorobogatov mengajar kursus pada tahun 2013 tentang topik titik rasional pada permukaan dan varietas berdimensi lebih tinggi. Catatan tersebut mencapai keseimbangan yang besar antara aksesibilitas dan umum:
- Geometri aritmatika: titik rasional ( tautan )
Kemudian ada catatan berikut oleh Yonatan Harpaz tentang titik-titik rasional pada permukaan elips:
- Poin rasional pada fibrasi elips - Catatan kursus ( tautan )
Akhirnya (untuk saat ini), Brendan Hassett memiliki artikel bagus tentang topik kepadatan potensial titik rasional pada varietas, yang juga sangat menarik:
- Potensi kepadatan titik rasional pada varietas aljabar ( tautan )
Misalnya
- Teori Bilangan: Volume I: Alat dan Persamaan Diophantine , Teks Pascasarjana dalam Matematika 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; dan
- Teori Bilangan: Volume II: Alat Analitik dan Modern , Teks Pascasarjana dalam Matematika 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2
oleh Henri Cohen.
Sulit untuk melangkah jauh dalam teori modern tanpa beberapa geometri aljabar.
Ini adalah pendekatan yang diambil dalam buku ini:
- Bjorn Poonen, Poin rasional tentang varietas , Studi Pascasarjana dalam Matematika 186 (2017), halaman penerbit , Penulis pdf .
Jika Anda tertarik dengan penerapan metode Baker, teorema subruang Schmidt, dll., Maka Anda mungkin menyukai buku-buku terbaru oleh Evertse dan Győry berikut ini:
- Persamaan diskriminan dalam teori bilangan Diophantine , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
- Persamaan satuan dalam teori bilangan Diophantine , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Untuk buku-buku yang disebutkan di atas saya akan menambahkan satu lagi:
- Varietas Rasional dan Hampir Rasional (Studi Cambridge dalam Matematika Lanjutan) oleh J. Kollár, KE Smith, dan A. Corti.
Penulis menyajikan pendekatan yang kurang lebih mendasar pada pertanyaan rasionalitas dengan menggunakan campuran metode klasik dan modern.