Persamaan Diferensial Elementer, Boyce, bagian 2.2, latihan 19 (Persamaan Terpisah)
Latihannya adalah untuk memecahkan masalah nilai awal:
$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$
Kita mendapatkan $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, dan dari $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ kami menyimpulkan itu $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ Kemudian: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$.
Mengapa solusinya $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ dan tidak sederhana $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? Apa yang saya lakukan salah?
Saya akan berterima kasih atas bantuan apa pun.
Jawaban
$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$
Saat Anda melakukan ini, Anda berasumsi bahwa $\sin(3y)$ dapat dibalik di lingkungan $\frac{ \pi}{2}$. Tapi di setiap bola terbuka yang berpusat$\frac{ \pi}{2}$ ada poin $a< \frac{ \pi}{2}< b$ seperti yang $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ karena kotak masuk $cos(x)$. Oleh karena itu Anda harus berhati-hati saat memilih domain solusi Anda.
Solusinya $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ valid ketika $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ sementara $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ valid ketika $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$.