Pertanyaan tentang Instansiasi Eksistensial
Saya mengalami masalah dalam memahami contoh eksistensial. Buku teks saya (Rosen - Matematika Diskrit dan Aplikasinya) menyatakan ini tentang contoh eksistensial:
Instansiasi eksistensial adalah aturan yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa ada elemen c dalam domain di mana P (c) benar jika kita tahu bahwa ∃xP (x) benar. Kita tidak dapat memilih nilai sembarang dari c di sini, melainkan harus ac dimana P (c) benar. Biasanya kita tidak memiliki pengetahuan tentang apa itu c, hanya c ia ada. Karena itu ada, kita dapat memberinya nama (c) dan melanjutkan argumen kita.
Ini masuk akal bagi saya untuk pernyataan eksistensial tertentu.
Misalnya, perhatikan pernyataannya $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. Hanya ada satu bilangan bulat yang membuat fungsi proposisional ($x + 1 = 2$) benar (yaitu, $1$). Oleh karena itu, masuk akal bagi saya bahwa simbol baru$c$ dapat dibuat untuk menamai "satu bilangan bulat yang membuat $x + 1 = 2$ benar".
Namun, pertimbangkan pernyataan itu $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Ada banyak bilangan bulat yang membuat fungsi proposisional ($x * 0 = 0$) benar (mis. $1$, $2$, $3$).
Dalam hal ini, saat kita membuat simbol baru $c$, apakah simbol ini menamai "salah satu bilangan bulat yang membuat $x * 0 = 0$ benar "? Saya merasa ini agak ambigu, jadi saya ingin tahu apakah saya memahami arti simbol ini dengan benar.
Mohon klarifikasi dan terima kasih atas waktu Anda.
Jawaban
Namun, pertimbangkan pernyataan itu $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. Ada banyak bilangan bulat yang membuat fungsi proposisional ($x * 0 = 0$) benar (mis. $1$, $2$, $3$).
Dalam hal ini, saat kita membuat simbol baru $c$, apakah simbol ini menamai "salah satu bilangan bulat yang membuat $x * 0 = 0$ benar"?
Ya, memang begitu. Jadi .. meskipun menggunakan$c$menunjukkan bahwa kita tahu persis objek yang kita bicarakan, ini sebenarnya bukan masalahnya. Kita masih hanya mengetahui bahwa setidaknya ada satu objek yang memenuhi rumus tersebut. Tetapi, untuk melakukan penalaran lebih lanjut, kita harus dapat berbicara tentang 'salah satu objek itu' dan untuk itu, sistem ini menggunakan konstanta individual .... meskipun Anda tentu saja perlu memastikan bahwa konstanta itu sangat konstan. tidak digunakan di tempat lain dalam pembuktian untuk merujuk ke beberapa objek lain.
Harap dicatat bahwa ada sistem bukti formal lain yang tidak digunakan $c$ dalam hal ini, tetapi pertahankan variabel sebagai variabel, yang memiliki keuntungan dari sugesti bahwa Anda memang tidak tahu objek spesifik apa yang Anda bicarakan ... tetapi kekurangannya adalah Anda sekarang mendapatkan garis sebagai bukti bahwa, ketika diambil keluar dari konteks sisa bukti, akan memiliki variabel bebas ... dan itu memang kelemahan yang cukup bagi sebagian orang untuk menggunakan konstanta sebagai gantinya.
Terkadang saya berpikir bahwa mungkin satu cara untuk menangani semua ini adalah dengan memiliki cara ketiga untuk menunjuk ke objek selain konstanta dan variabel: simbol yang memang akan Anda gunakan untuk instansiasi yang sangat eksistensial ini, dan yang menunjukkan 'beberapa objek dengan beberapa properti, meskipun kita tidak tahu yang mana ', yaitu tidak sepenuhnya sewenang-wenang (seperti variabel normal), tetapi juga tidak spesifik (seperti konstanta). Saya tidak pernah merasa sistem formal melakukan hal seperti itu.