Secara fungsional, apa yang dikatakan matriks simetris tentang transformasi linier yang diwakilinya?

Dec 24 2020

Saya memahami definisi matriks simetris dalam hal bagaimana komponennya terkait. Tapi secara fungsional, apa yang diperlukan tentang transformasi linier yang diwakilinya? Sebagai contoh, blok matriks tri-diagonal memiliki hubungan khusus antar entri tetapi mereka juga, secara fungsional, memberitahu kita bahwa beberapa subruang vektor non-trivial adalah invarian di bawah transformasi linier sehubungan dengan basis tertentu. Secara kebetulan, apa yang direpresentasikan oleh matriks simetris-miring, secara fungsional?

Jawaban

BenGrossmann Dec 24 2020 at 23:21

Dalam komentar (dan dalam diskusi terkait) pada pertanyaan tersebut, saya membuat klaim berikut:

$M$ simetris relatif terhadap setidaknya satu pilihan basis (mungkin miring) jika dan hanya jika $M$ dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen nyata. $M$ bersifat condong-simetris terhadap setidaknya satu pilihan basis jika dan hanya jika $M$ adalah jumlah langsung dari skala $90^\circ $ rotasi dan transformasi nol.

Pertama, kasing simetris. Jika$M$ simetris, maka teorema spektral menyatakan itu $M$dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen nyata. Sebaliknya jika$M$ dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen nyata, maka ada basis yang relatif terhadap matriks tersebut $M$adalah diagonal dengan entri diagonal nyata. Karena matriks diagonal ini simetris,$M$ simetris relatif terhadap pilihan basis ini.

Untuk kasus dimana $M$simetris miring, ada dua pendekatan yang umum. Untuk arah yang mudah: jika$M$ adalah jumlah langsung dari $90^\circ$ rotasi dan transformasi nol, maka ada basis yang relatif terhadap yang matriks $M$ adalah matriks simetris-miring diagonal blok $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Ada dua pendekatan untuk kebalikannya. Satu pada dasarnya adalah menerapkan teorema spektral untuk matriks Hermitian , dengan mencatat bahwa jika$M$ adalah skew-simetris maka matriks kompleks $iM$adalah Hermitian. Sebagai alternatif, kita dapat secara sistematis membangun basis yang relatif terhadap matriks$M$memiliki bentuk blok-diagonal di atas seperti yang diuraikan dalam posting ini dan bukti terkait di dalamnya.