Segitiga dengan luas paling banyak $\frac{7}{12}$.

Question

Misalkan ada $75$titik di dalam kubus satuan sehingga tidak ada tiga titik yang co-linear. Buktikan bahwa adalah mungkin untuk memilih tiga titik dari yang diberikan di atas yang membentuk segitiga dengan luas paling banyak$\frac{7}{12}$. Bagaimana mungkin mendapatkan luas segitiga dari data yang diberikan ini? Tolong bantu. Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Bagilah kubus satuan menjadi 27 kubus $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Berdasarkan prinsip pigeonhole, salah satu kubus ini berisi 3 dari 75 poin. Dari kondisi yang diberikan, titik-titik ini tidak bertabrakan. Jadi mereka membentuk segitiga

Dalam kubus samping $a$, luas maksimum segitiga yang dapat ditampung di dalamnya adalah $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Untuk samping $\frac{1}{3}$, ini adalah $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Oleh karena itu, ketiga titik ini membentuk segitiga dengan luas kurang dari $\frac{7}{12}$

Answer 2

Pilih poin $(0,0,0)$ dan $(1,1,z)$ dan $(1,1,0)$. Luas segitiga ini adalah$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Sekarang pilih $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Ada banyak cara untuk menempatkan sisa 72 poin, jadi harus ada cara untuk membuat tidak ada 3 poin yang non-colinear.

Titik yang tersisa, misalnya, terletak di pesawat $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ dan membentuk bentuk melingkar.