Sejarah polinomial yang tidak dapat direduksi dan motivasi bagi mereka
Saya telah memikirkan tentang sejarah polinomial yang tidak dapat direduksi dan mengapa mereka diperkenalkan. Saya menemukan Apa asal mula polinomial dan notasi untuk mereka? , tapi ini tentang polinomial secara umum.
Adakah yang bisa menjelaskan motivasi historis untuk memperkenalkan dan mempelajari polinomial tak tersederhanakan? Saya ingin sekali mendapatkan referensi untuk itu.
Jawaban
Saya akan melewatkan pra-sejarah memecahkan persamaan polinomial dan memfaktorkan polinomial. Izinkan saya menyebutkan bahwa analogi antara pembagian bilangan panjang dan polinomial kembali ke matematikawan Islam abad pertengahan al-Samawal, lihat Siapa yang menemukan pembagian pendek dan panjang? , dan algoritme Euclidean untuk polinomial dioptimalkan oleh Hudde, seorang kontemporer yang lebih muda dari Descartes, lihat Suzuki, The Lost Calculus .
Sejarah yang tepat dari tak tereduksi dimulai dengan polinomial siklotomik dalam Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801). Motivasinya terkait dengan menorehkan poligon beraturan ke dalam lingkaran dengan penggaris-sejajar dan kompas, dan komentar samar menunjuk ke generalisasi pada lemniscate. Teori awal dikembangkan dalam konteks "kesesuaian yang lebih tinggi", persamaan polinomial modulo bilangan prima dan kekuatannya, lihat Cox's Why Eisenstein Proved the Eisenstein Criterion dan Dickson's History of the theory of numbers, ch. VIII . Studi tentang cincin nomor umum oleh Kummer dan Dedekind berasal dari sumber yang sama.
Gauss membuktikan bahwa polinomial siklotom dengan indeks prima tidak dapat direduksi (dia tidak menggunakan terminologi seperti itu). Dalam perjalanannya dia membuktikan hasil umum pertama pada irredusibilitas, lemma Gauss . Yang lebih relevan adalah bagian 8 yang tidak diterbitkan dari Disquisitiones Arithmeticae , berjudul Disquisitiones generales de congruentiis , di mana Gauss mempelajari "kongruensi polinomial" modulo$p$, yaitu polinomial dalam $\mathbb{F}_p[x]$dalam istilah modern, lihat Frei, The Unpublished Section Eight . Dia menghitung jumlah polinomial monik yang tidak dapat direduksi di$\mathbb{F}_p[x]$, dan membuktikan kasus lemma Hensel selama prosesnya . Tetapi semua ini hanya tersedia setelah Dedekind menerbitkan bagian 8 pada tahun 1863 (versi lengkap pada tahun 1876), dan ditemukan kembali oleh orang lain pada saat itu, terutama Schönemann dan Dedekind sendiri.
Tetapi bahkan bagian yang diterbitkan cukup menjadi inspirasi bagi Abel dan Galois. Teorema tak dapat direduksi Abel , tidak begitu dirumuskan, muncul dalam karyanya Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement (1829). Abel dipimpin oleh ekstensi sebelumnya untuk lemniscate hasil Gauss membagi lingkaran menjadi beberapa bagian yang sama, menurut komentar Gauss. Dalam catatan Galois Sur la theorie des nombres (1830, muncul dengan terjemahan bahasa Inggris di The mathematical writings of Évariste Galois ) kita melihat istilah " irréductible ", meskipun itu diterapkan pada kongruensi daripada polinomial, dan konstruksi terkait bidang berhingga .
Tetapi Schönemann dalam makalah dua bagian Grundzuge einer allgemeinen Theorie der hohern Congruenzen (1845) dan Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind (1846) secara independen menemukan kembali hasil Gauss dan Galois dan melangkah lebih jauh. Secara khusus, ia menerapkan "tak tereduksi" ke polinomial, dan menyatakan masalah umum: " Untuk menyelidiki, apakah kekuatan modulo polinomial tak tersederhanakan$p$ adalah atau bukan modulo yang tidak dapat direduksi $p^m$", yang dia pecahkan menggunakan versi dari apa yang sekarang disebut " kriteria Eisenstein " dari irreducibility (sebagian besar karena pengawasan van der Waerden). Eisenstein menemukan kembali kriteria tersebut ketika menegur teorema Abel tentang pengelompokan lemniscate, dan membagikan gagasan itu dalam sebuah surat kepada Gauss pada tahun 1847, tetapi versi yang diterbitkan hanya muncul di Uber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Gleichung (1850). Sejumlah penulis mengerjakan kesesuaian yang lebih tinggi sejak saat itu, Mathieau, Serret, Dedekind, Kronecker, Jordan, Weber, dll.
Di tangan Dedekind, setelah karyanya Abriß einer Theorie der hoheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus (1857), ceritanya mengambil arah yang lebih abstrak yang mengarah pada teori cincin modern. Kemudian Dedekind mensintesis karya Gauss, Galois, Schönemann dan Kummer dengan memperkenalkan cincin dan cita-cita, dan mengembangkan terminologi terpadu dari bilangan prima dan tak tersederhanakan, lihat Perubahan apa dalam matematika yang mengakibatkan perubahan definisi bilangan prima dan pengecualian 1? Dalam nada yang lebih konkret, Kronecker memberikan algoritma umum untuk sepenuhnya memfaktorkan polinomial integer rasional menjadi produk tak tersederhanakan pada tahun 1882, lihat Dorwart, Irreducibility of Polynomials. Kriteria Schönemann-Eisenstein diperluas oleh Konigsberger (1895), Netto (1896) Bauer dan Perron (1905). Dumas mengembangkan metode poligon Newton yang sekarang populer untuk mempelajari irredusibilitas di Sur quelques cas d'irreductibilite des polynomes a coefficients rationnels (1906), lihat kondisi iredusibilitas tipe Schönemann-Eisenstein-Dumas oleh Bonciocat .