$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
Dari The Theory of the Riemann Zeta-Function , Titchmarsh , halaman 13:
Membiarkan $\phi (x)$ menjadi fungsi apa pun dengan turunan kontinu dalam interval $[a,b]$. Lalu jika$[x]$ menunjukkan bilangan bulat terbesar tidak melebihi $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
Tidak ada bukti dalam buku ini dan saya tidak tahu apa 'nama' dari teorema ini. Saya ingin memahami teorema ini tetapi tidak tahu harus mulai dari mana.
Jawaban
Membiarkan $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, dimana $\{t\}$ adalah bagian pecahan dari $t$.
Sketsa bukti:
Saya serahkan detailnya kepada Anda. Inilah salah satu cara untuk mendekati identitas ini.
- Pertama, perhatikan itu $\rho$ adalah $1$fungsi -periodik, dan itu $\rho'(t)=-1$ untuk $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. Untuk$k\leq \alpha<b\leq k+1$, gunakan integrasi dengan bagian dua kali (sekali dengan $u=f(t)$ dan $dv=\rho'(t)\,dt$; dan lainnya dengan$u=f'(t)$ dan $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) mendapatkan
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Anda sekarang dapat menambahkan interval integer $[k,k+1]\subset(a,b]$ dan kemudian melewati interval kemungkinan pecahan $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ untuk mendapatkan hasil yang diinginkan.
Sunting: Bukti yang lebih umum dan elegan dapat diperoleh dengan integrasi dengan bagian:
Lemma: Biarkan$F$ dan $G$ menjadi fungsi kanan-berkelanjutan dari variasi terbatas lokal $I$, dan biarkan $\mu_G$, $\mu_F$ adalah tindakan yang ditandatangani diinduksi oleh $G$ dan $F$masing-masing. Kemudian, untuk interval ringkas apa pun$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ dimana $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
Untuk OP,
Pertimbangkan ukuran penghitungan $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ dan ukuran Lebesgue $\lambda$, keduanya didefinisikan pada $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Membiarkan$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Perhatikan itu$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Menerapkan Lemma di atas dengan $f$ di tempat $F$ dan $\Phi$ di tempat $G$, kami punya itu $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ dan $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ sehingga,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
dari mana perubahan itu $\Phi(t-)$ untuk $\Phi(t)$ mengikuti dari fakta itu $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-sebagai
Kesimpulannya mengikuti dengan menambahkan dan mengurangi $\frac12$ di integral terakhir.
Ini dengan Abel-Summation: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ dimana $B_1(x)$adalah polinomial Bernoulli pertama. Seperti disebutkan sebelumnya, file$1/2$-persyaratan berlebihan.
Dengan mengintegrasikan secara berturut-turut dengan menggunakan bagian $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, Anda akan mendapatkan rumus Euler-Maclaurin jika $a,b$ adalah bilangan bulat.