Temukan semua 3 solusi angka untuk $x[(x-2)^2+1]=6$

Question

Temukan semua 3 solusi angka untuk $x[(x-2)^2+1]=6$

Saya menggunakan metode trial and error untuk menemukan solusi integer $x$, dan menemukan bahwa 1 solusi yang mungkin adalah $x=3$. Namun, ada 2 solusi non-integer lainnya dan saya tidak tahu cara menemukannya.

Saya menghargai bantuan apa pun, terima kasih.

Answer 1

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

Anda hanya perlu memverifikasi diskriminan $x^2-x+2$ negatif dan simpulkan bahwa tidak ada akar nyata lainnya.

Jika Anda tertarik untuk mencari akar lainnya, Anda mungkin ingin menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar yang tersisa.

Answer 2

Dengan trial & error terpelajar:

Jika Anda berasumsi bahwa latihan tersebut memiliki solusi yang mudah, kemungkinannya adalah bilangan bulat. $6$ faktor sebagai $2\cdot3$ dan karena faktor kedua adalah kuadrat sempurna plus satu, ini mengesampingkan $3$. Kemudian$x=3$ adalah bingo!

Sekarang menggeser yang tidak diketahui dengan $x:=z+3$, kami dapatkan

$$z^3+5z^2+8z=0$$ atau $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ resolusi yang mudah.

Answer 3

Mencari solusi integer, persamaannya $x[(x-2)^2+1]=6$ setara dengan $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ Persamaan kedua dalam sistem pertama menyiratkan hal itu $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Sayangnya, satu-satunya kotak mos.$3$ adalah $0$ dan $1$, jadi sistem pertama ini tidak memiliki solusi.

Persamaan kedua dalam sistem kedua berarti $(x-2)^2=1$, yaitu $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Hanya$x=3$ kompatibel dengan persamaan pertama.

Oleh karena itu, ada solusi bilangan bulat tunggal. Untuk solusi lainnya, kita dapat memperluas lhs untuk mendapatkan persamaan kubik, habis dibagi$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

Persamaan kuadrat $x^2-x+2=0$ memiliki akar konjugasi yang kompleks: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$