Tentang kesimetrian bidang Fano
Saya telah mencari realisasi ketertiban $21$kelompok metasiklik. Saya bertanya tentang ini kemarin dan mempelajari beberapa informasi yang sangat baik tentang itu Realisasi kelompok metasiklik orde 21
Saya juga bereksperimen dengan pesawat Fano dan secara tidak sengaja menemukan sesuatu yang tidak dapat saya jelaskan. Saya memberi nomor kode biner dan mempertimbangkan permutasi yang berputar melaluinya secara berurutan, dan permutasi yang memutar bit:
001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111
1 2 3 4 5 6 7
gap> StructureDescription(Group((1,2,3,4,5,6,7), (1,2,4)(3,6,5)));
"C7 : C3"
Ini adalah kelompok metasiklik. Tapi saya kemudian melihat ke pesawat Fano dan melihat bahwa siklusnya seharusnya$(7,6,4,3,5,1,2)$. Siklus ini menghasilkan$\text{PSL}(3,2)$. Saya juga menemukan siklus itu$(7,6,4,3,5,1,2)$ menghasilkan $A7$. Jadi saya sangat bingung karena hal pertama yang saya coba menghasilkan grup yang saya minati, tetapi ketika saya melihat sekarang di pesawat Fano ini$7$-siklus tampaknya tidak berarti / acak.
Apa arti geometris dari ini $7$permutasi siklus dalam hal bidang fano?
Jawaban
Apa arti geometris dari permutasi 7 siklus ini dalam kaitannya dengan bidang fano?
Pesawat Fano adalah bidang proyektif $\mathbb{P}(\mathbb{F}_2^3)$. Subruang 1D dari$\mathbb{F}_2^3$ (jadi, vektor bukan nol, karena $\mathbb{F}_2$) diwakili oleh "poin", dan subruang 2D dari $\mathbb{F}_2^3$, masing-masing berisi tiga subruang 1D, adalah "garis" proyektif. Jelas$\mathbb{F}_2^3$ dan karenanya pesawat Fano memilikinya $3$simetri lipat; ilustrasi khas berikut membuat file$S_3$ simetri terbukti:
Namun, ada beberapa aspek dari bidang Fano yang dikaburkan oleh gambar ini. Secara khusus, sementara garis proyektif dipahami$3$-sepeda pada grafik di atas, kebanyakan $3$-sepeda memiliki sisi tersembunyi! Semua garis lurus dipahami sebagai "membungkus" untuk diartikan sebagai semacam lingkaran. Akibatnya, simpul pusat dibedakan dari yang lainnya, dan ini merusak simetri bidang Fano yang sebenarnya, di mana semua titik dan semua garis tidak dapat dibedakan (yaitu kelompok simetri bertindak secara transitif pada mereka).
Kelompok simetri $G$ pesawat Fano memiliki ukuran
$$ |\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)|=(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=7\cdot24=168. $$
Selain: Ini juga menunjukkan bahwa seharusnya ada semacam $4$- atau $8$simetri lipat ke bidang Fano yang entah bagaimana harus dapat digambarkan. Memang, jika kita mengambil titik tengah tepi luar dari penggambaran di atas, dan menariknya sedikit, kita dapat melihat segi enam, dan dari sana jika kita menariknya keluar dari halaman (atau layar) kita mendapatkan antiprisme segitiga, yaitu sebuah segi delapan, tetapi dengan titik pusat yang terhubung melalui tepi ke enam simpul lainnya.
"Sumbu" yang melalui pusat ini dipahami "membungkus" seperti yang dilakukan garis-garis internal penggambaran sebelumnya. Selain itu, jika kita mengecat permukaannya (yaitu mengecat dengan dua warna sehingga permukaan yang berdekatan memiliki warna yang berbeda), segitiga yang sesuai dari permukaan berwarna pertama juga merupakan garis proyektif. Kelompok simetri dari kotak-kotak segi delapan ini, dan karenanya subkelompok simetri dari bidang Fano, adalah$S_4$. Dalam beberapa hal, ini memang "lebih baik" daripada penggambaran pesawat Fano biasanya karena secara jelas menyertakan penggambaran sebelumnya$S_3$ subkelompok simetri (sebagai rotasi di sekitar wajah ditambah beberapa refleksi; itu menstabilkan pasangan wajah yang berlawanan).
Untuk melihat ini, pertama pertimbangkan kelompok simetri penuh dari sebuah oktahedron. Kelompok simetri rotasi adalah$S_4$, sama seperti kubus (latihan hebat), ditambah refleksi pusat yang tidak tepat $-I_3$ membawa grup simetri oktahedral menjadi $S_4\times\mathbb{Z}_2$. Dengan inspeksi, hanya permutasi genap (dari empat diagonal ruang melalui titik tengah permukaan antipodal) yang dimungkinkan dengan rotasi pengawet papan catur, dan hanya pantulan bidang yang tepat yang mempertahankan derai papan catur, oleh karena itu kelompok simetrinya adalah$(A_4\times\{I_3\})\sqcup(S_4\setminus A_4\times\{-I_3\})$ yang merupakan salinan isomorfik dari $S_4$ (yang telah "dipelintir" dari salinan yang sudah jelas di $S_4\times\mathbb{Z}_2$).
Faktanya, ini $S_4$ adalah penstabil $111$, simpul pusat, karena merupakan indeks $7$, atau lihat
$$ \mathrm{Stab}(111)\cong\mathrm{Aff}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2^2\rtimes\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)\cong V_4\rtimes S_3 \cong S_4. $$
Di atas, kami menggunakan: (a) cara yang biasa untuk meletakkan sebuah grup affine dalam grup linier umum dengan satu dimensi yang lebih tinggi (sebagai matriks blok dengan baris atau kolom terakhir sebagai vektor koordinat basis standar), (b) isomorfisme yang luar biasa $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$, dan (c) fakta yang luar biasa (di antara kelompok-kelompok simetris) $S_4$ adalah produk semidirect.
Dengan teorema Cauchy, $G$ harus memiliki unsur keteraturan $7$, yang harus a $7$-siklus (karena ia bertindak secara tidak sepele pada satu set ukuran $7$), jadi pesawat Fano juga harus punya $7$simetri lipat entah bagaimana.
Untuk melihat bagaimana (secara visual), kita akan menggunakan isomorfisme yang luar biasa
$$ \mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7). $$
Ada banyak argumen yang menunjukkan hal ini, beberapa di antaranya bersifat elementer, tetapi sayangnya tidak ada yang menurut saya memuaskan "alami" dan "apriori". Bagaimanapun, kami dapat memeriksa ukurannya yang cocok:
$$ |\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)|=\frac{(7^2-1)(7^2-7)}{2(7-1)}=168. $$
Kami akan merekonstruksi pesawat Fano, dengan $7$simetri lipat, dengan mengamati bagaimana itu dapat dibangun $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$ dan mengirimkan detail ke $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.
Perhatikan siklus koordinat $\mathbb{F}_2^3$ memiliki tipe siklus $(\cdot\cdot\cdot)(\cdot\cdot\cdot)$ di pesawat Fano (memperbaiki $111$, dengan orbit $100,010,001$ dan $110,101,011$). (Atau, dengan kata lain,$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$'s $3$-siklus yang bekerja pada bidang Fano memiliki dua orbit yang sesuai dengan koordinat terakhir $0$ atau $1$. Dalam hal ini, titik tetapnya adalah$001$ dari pada $111$.) Salah satunya memiliki orbit yang merupakan garis proyektif, karena ilustrasi tipikal dari bidang Fano yang berputar adalah simetri proyektif dan lingkaran (aktual) di dalamnya adalah garis proyektif. (Garis proyektif ini terdiri dari siklus$110$.) Semua $3$-sepeda terkonjugasi $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$(menurut teori Sylow) jadi ini berlaku untuk semuanya. Jika kita menerapkan nontrivial$7$- bersepeda ke garis proyektif, kita harus mendapatkan semuanya $7$ garis proyektif.
Jadi, kita dapat membangun bidang Fano hanya dengan menggunakan kelompok metasiklik ini $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$tindakan $\mathbb{Z}_7$ (catatan $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ adalah subkelompok holomorph tersebut $\mathrm{Hol}(\mathbb{Z}_7)$, yang merupakan "grup affine" $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)$, jadi $\mathbb{Z}_7$ bertindak sendiri secara teratur dan $\mathbb{Z}_3$ bertindak $\mathbb{Z}_7$oleh automorfisme kelompok). Ini bisa dilakukan di dalam$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ untuk menghasilkan skema pelabelan.
Grup $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ bertindak di garis proyektif $\mathbb{F}_7\mathbb{P}^1=\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$ oleh Mobius transformasi memiliki subkelompok stabilizer $\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ bertindak dengan fungsi affine $\mathbb{F}_7$ dari bentuk $f(x)=a^2x+b$ ($a\ne0$) sesuai dengan matriks $\pm[\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1}\end{smallmatrix}]$ di $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, yang merupakan sejenis makhluk $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)\cong\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_6$ tetapi tidak sepenuhnya (juga perhatikan $G$ tidak memiliki urutan $6$ elemen).
Karena $2^3\equiv1$ mod $7$, peta $x\mapsto 2x$ memiliki ketertiban $3$. Salah satu orbit nontrivialnya adalah$\{1,2,4\}$, yang akan kami nyatakan sebagai garis proyektif. Harus ada$7$ garis proyektif, dan kelompok simetri harus bertindak padanya secara transitif, jadi kita harus mendapatkan semua garis proyektif baru dalam model baru kita dengan menerjemahkan $\{1,2,4\}$. Ini cukup untuk menerjemahkan garis proyektif menggunakan$7$-sepeda $x\mapsto x+1$, fungsi affine. Jadi, poin kami adalah$\{1,2,\cdots,7\}$ dan garis kami $\{a+1,a+2,a+4\}$.
[Sejak transformasi Mobius (begitulah $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ bertindak $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$, yang elemennya mewakili titik-titik garis proyektif $\mathbb{P}(\mathbb{F}_7^2)$) mempertahankan rasio silang, kita dapat mengamati garis proyektif ini (dalam model bidang Fano baru kami) adalah tripel dengan rasio silang yang ditentukan. Hanya di samping.]
Ini memberi kita gambar pesawat Fano berikut:
Setiap segitiga berwarna adalah garis proyektif. Ini grafik lengkapnya$K_7$, jadi tidak ada edge yang "hilang" atau "tersembunyi" dalam model ini, tidak seperti model lainnya. (Segitiga diorientasikan untuk menggambarkan tabel perkalian oktonion.)
Kita dapat menghapus tepat satu tepi dari setiap segitiga untuk mendapatkan gambar lain, dengan "tepi tersembunyi" di garis proyektif, seperti gambar aslinya, tetapi tetap menggambarkan $7$simetri lipat dan tidak memiliki titik atau garis yang berbeda:
Beberapa pemikiran. (a) Konstruksi ini hanya menggunakan subkelompok metasiklik$\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ dari $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, bukan semuanya. Jadi, (b) tentu saja tidak menjelaskan mengapa$\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, dan memang (c) tindakan $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ daripada $\mathbb{F}_7$ tidak jelas bagi saya - khususnya, tidak lagi dengan transformasi Mobius, karena mereka transitif di $8$-elemen set $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$.
Fakta bahwa $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ bertindak secara transitif pada set kedua ukuran $7$ dan $8$ sangat identik dengan fakta $\mathrm{Spin}(7)$ bertindak tak tersederhanakan pada keduanya $\mathbb{R}^7$ (melalui rotasi) dan $\mathbb{R}^8$(melalui octonions). Mungkin ada hubungan yang lebih dalam yang bisa ditemukan dengan menjawab "apa itu$\mathbb{F}_1$ versi octonions? "