Tentukan apakah $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ bertemu

Question

Saya harus menentukan apakah $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ bertemu / menyimpang.

Intuisi saya adalah bahwa yang tidak terpisahkan bertemu, karena $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ konvergen dari uji Dirichlet, oleh karena itu penambahan $ \frac{1}{x} $ seharusnya tidak banyak perbedaan untuk $ x\to\infty $.

Saya kira cara yang tepat untuk membuktikannya adalah dengan menunjukkannya $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ dibatasi untuk apa pun $ u $, dan kemudian saya bisa menggunakan tes Dirichlet. Saya mencoba dan tidak bisa membuktikannya.

Juga, saya ingin mendengar pendapat Anda tentang bukti saya bahwa integral $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ bertemu.

Saya menggunakan tes perbandingan batas dengan cara berikut:

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

dan sejak $ 0.8 <1 $ integral $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ bertemu, jadi integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ bertemu secara absolut.

Saya akan menghargai bantuan di sini. Terima kasih sebelumnya

Answer 1

Mulailah dengan rumus penjumlahan sudut:

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

dan perhatikan bahwa integral tak layak kedua konvergen sejak $\sin(1/x)\lt1/x$ (untuk $x\gt0$) dan $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$bertemu. Jadi tetap menunjukkan bahwa integral tak wajar pertama juga konvergen.

Untuk melakukan ini, gunakan integrasi berdasarkan bagian dengan $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ dan $dv=\sin x\,dx$, yang seperti itu $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ dan $v=-\cos x$:

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

dimana dua integral tidak tepat terakhir kembali konvergen.

Adapun integral tidak layak dari $0$ untuk $1$, pembuktian OP tidak masalah tetapi lebih rumit dari yang diperlukan; cukup untuk dicatat itu${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.

Answer 2

Anda boleh saja membiarkan $x+\frac{1}{x}=z$ dan dapatkan $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ dimana $g(z)$ berperilaku seperti $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ di lingkungan yang tepat dari $z=2$ dan itu menurun $z>2$, sejak $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ jelas menurun $\mathbb{R}^+$. Oleh karena itu, Anda dapat menerapkan lemma Dirichlet di sini juga.