Teorema Batas Pusat Indeks Acak (reduks)

Question

Pertanyaan saya mirip dengan teorema batas pusat indeks acak . Saya memiliki bukti lain dari teorema yang serupa dan ingin memeriksa apakah itu benar. Saya curiga bahwa saya telah membuat kekeliruan karena pembuktian saya tampaknya jauh lebih sederhana.

Membiarkan $X_1, X_2, ...$ menjadi iid dengan $EX_i = 0$ dan $EX_i^2 = 1$. Membiarkan$a_n$ menjadi urutan peningkatan bilangan asli (saya bisa saja mengambil $a_n = n$) seperti yang $a_n \rightarrow \infty$ dan $N_n$ menjadi urutan acak bilangan asli dengan $\frac{a_n}{N_n} \rightarrow 1$dalam kemungkinan. Saya ingin menunjukkan itu$\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}} \implies \mathcal{N}(0, 1)$, yaitu, menyatu dalam distribusi.

bukti : Pertama,$\frac{S_{a_n}}{\sqrt{a_n}} \implies \mathcal{N}(0, 1)$oleh CLT dan karena rangkaian urutan konvergen lemah konvergen lemah. Lalu, perbaiki beberapa$\epsilon > 0$ dan biarkan $A_n = \{|\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}} - \frac{S_{a_n}}{\sqrt{a_n}}| > \epsilon\}$. Pengkondisian acara$|N_n - a_n| \ge 1$:

\begin{align*} P(A_n) &= P(A_n\ \big|\ |N_n - a_n| \ge 1)P(|N_n - a_n| \ge 1) + P(A_n\ \big|\ |N_n - a_n| < 1) P(|N_n - a_n| < 1)\\ &= P(A_n\ \big|\ |N_n - a_n| \ge 1)P(|N_n - a_n| \ge 1)\\ &\le P(|N_n - a_n| \ge 1)\\ &\rightarrow 0 \end{align*}

tempat saya dulu $|N_n - a_n| < 1 \implies N_n = a_n$ untuk ketimpangan kedua dan $P(\cdot) \le 1$ di ketiga, dan itu $N_n/a_n \rightarrow 1$ kemungkinan besar di langkah terakhir.

Sejak $\epsilon$ sewenang-wenang, itu berarti $|\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}} - \frac{S_{a_n}}{\sqrt{a_n}}| \rightarrow 0$ dalam kemungkinan dan karena itu $\frac{S_{N_n}}{\sqrt{N_n}} \implies \mathcal{N}(0, 1)$ dengan teorema Slutsky. $\square$

Apakah bukti ini valid?

Answer 1

Biasanya, Anda tidak punya $\lim_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}( |N_n-a_n| \ge 1 ) =0$ kecuali lebih banyak kondisi ditentukan.