Transformasi Fourier $L^1$ fungsi yang turunannya ada di $L^1$ dan lenyap saat tak terbatas ada $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ adalah fungsi yang dapat dibedakan sedemikian rupa $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, buktikan bahwa transformasi fourier $f$ dicatat $\hat{f}$ masuk $L^1 (\mathbb{R})$

Saya tahu jika $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, kemudian $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$tetapi saya tidak tahu bagaimana menggunakan kondisi bahwa turunannya menghilang pada tak terhingga. Ide apa pun akan membantu.

Answer 1

Dua petunjuk:

Gunakan fakta itu $f'$ terikat untuk menunjukkan itu $f' \in L^2$ dan penggunaan Plancherel.

Catat itu $f'$ dibatasi dan sejak$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ kami melihat itu $f' \in L^2$. Kemudian Plancherel menunjukkan itu$\hat{f'} \in L^2$. Catat itu$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.

Gunakan Cauchy Schwartz dan catat itu untuk $\omega \neq 0$ kita punya $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.

Untuk $\omega \neq 0$ kita punya $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ dan Cauchy Schwartz memberi $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.