Transformasi kesatuan kuantum

Nov 30 2020

Dalam mekanika kuantum, kita tahu $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

tapi kenapa $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Apakah itu berarti $UHU^\dagger = H$? kupikir$UU^\dagger H = H$, tetapi mengapa kita dapat mengubah urutan matriks di sini?

Jawaban

3 user2723984 Nov 30 2020 at 14:17

Anda terlalu memikirkan ini, dengan asumsi $U$ adalah kesatuan:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ tidak perlu menjadi operator evolusi waktu dan tidak perlu bepergian $H$agar ini berhasil, itu bisa menjadi kesatuan apa pun. Ini hanya mengatakan bahwa jika Anda menulis$\psi$di basis lain kemudian berkembang dengan Hamiltonian ditulis di basis baru. (Atau setara bahwa vektor yang diputar berevolusi dengan Hamiltonian yang diputar).

1 Qmechanic Nov 30 2020 at 14:29
  1. Jika Hamiltonian $\hat{H}$ tidak tergantung pada waktu, dan $U$ seharusnya menjadi operator evolusi waktu $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ yang ngelaju$^1$ dengan $\hat{H}$, yang seperti itu $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. Pertanyaan OP.

  2. Jika Hamiltonian $\hat{H}$lakukan tergantung pada waktu, maka persamaan. (A) & (B) perlu dimodifikasi, lih. misalnya posting Phys.SE ini .

-

$^1$ Sebuah fungsi $f(\hat{H})$ dari $\hat{H}$ bepergian dengan $\hat{H}$, lih. misalnya postingan ini & Phys.SE ini .

PrawwarP Nov 30 2020 at 14:27

user2723984 benar. Namun, bagian kedua dari pertanyaan Anda tidak terselesaikan: jika Hamiltonian bolak-balik dengan dirinya sendiri pada waktu yang berbeda, maka satu-satunya operator di$U$ adalah $H$ dan sebagai $H$ bolak-balik dengan sendirinya, urutan operator dapat diubah.