Tunjukkan jika $a,b \in \mathbb{R}^n$, kemudian $|||a|| - ||b||| \leqslant ||a+b||$

Question

Tunjukkan jika $a,b \in \mathbb{R}^n$, kemudian $$|\|a\| - \|b\|| \leqslant \|a+b\|$$

Kami punya itu $$||a|| = ||a+b-b||\leqslant||a+b||+||-b|| = ||a+b||+||b||$$

dan itu $$||b|| = ||b+a-a||\leqslant||b+a||+||-a|| = ||b+a||+||a||$$

namun saya tidak melihat bagaimana saya bisa melanjutkan dari sini. Jika saya mengambil$||a||-||b||$ Saya mengerti $$||a||-||b|| = ||a+b||+||b|| -(||b+a||+||a||) = ||b||-||a||$$

yang tidak membantu sama sekali. Apa yang harus saya lakukan di sini?

Answer 1

$$\|a\| \le \|a + b \| + \|b\|$$

Karenanya $\|a\|-\|b\| \le \|a+b\|$.

Demikian pula yang kita miliki $\|b\|-\|a\| \le \|a+b\|$

Karenanya $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \le \|a+b\|$

Itu adalah $|\|a\|-\|b\||\le \|a+b\|$

Answer 2

Trik licik: tulis $||a|| = || -a||$, $||a + b|| = ||-a-b||$, dan gunakan pertidaksamaan segitiga secara langsung.

Answer 3

Karena @Siong Thye Goh sudah melakukan solusinya, saya akan menyebutkan satu hal.

---

$\blacksquare~$ Klaim: Untuk Subruang Vektor apa pun $(X, \| \cdot \|)$ dari $~\mathbb{K}^{n}$, kami puas dengan ketidaksetaraan berikut. \begin{align*} \| a - b \| \geqslant \big\lvert \| a \| - \| b \| \big \rvert \quad \text{for any } a, b \in X \subseteq \mathbb{K}^{n} \end{align*}

$\blacksquare~$Bukti: Kami memiliki$\textbf{triangle inequality of norms}$ \begin{align*} &\| (a - b) + b \| ~\leqslant~ \| a - b \| + \| b \| \quad \text{for any } a, b \in X\\ \implies & \| a \| - \| b \| ~\leqslant~ \| a - b \| \quad \text{for any } a, b \in X \end{align*} Kemudian $\max(\|a\|-\|b\|, \|b\|-\|a\|) \leqslant \|a-b\|$

Oleh karena itu, kami memilikinya $\left| \| a \| - \|b \| \right| \leqslant \| a - b \|$.

---

Menggunakan ketidaksetaraan untuk apa pun $x, x_0 \in X~$ untuk $(X, \| \cdot \|)$ adalah ruang linier bernorma dan $X$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^n$, kami memiliki klaim yang sangat penting.

---

$\bullet~$ Klaim: Peta$\| \cdot \| : X \to [0, \infty)$adalah terus menerus atau dengan kata lain, norma $\| \cdot \|$adalah terus menerus.

$\bullet~$ Bukti: Dari definisi kontinuitas yang kita miliki, untuk apa pun$\epsilon > 0$, disana ada $\delta > 0$ seperti yang
\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert < \epsilon ~\text{ when }~ \| x - x_{0} \| < \delta \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} dari masalah sebelumnya kami memiliki ketidaksetaraan \begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| y \| \big\rvert \leqslant \| x - y \| \quad \text{for any } x, y \in X \end{align*} Mari kita pilih $\epsilon = \delta$. Oleh karena itu kami punya\begin{align*} \big\lvert \| x \| - \| x_{0} \| \big\rvert \leqslant \| x - x_{0} \| < \delta = \epsilon \quad \text{for some arbitrary } x_{0} \in X \end{align*} Yang menunjukkan bahwa peta $\| \cdot \|$adalah terus menerus di$x_{0}$. Sebagai$x_{0}$sewenang - wenang , lalu fungsinya$\| \cdot \|$terus menerus di seluruh ruang $X$.

---

Hal ini membuat bukti penting dari setiap norma setiap yang terus menerus pada vektor ruang bagian dimensi yang terbatas dari$\mathbb{K}^n$.

Tidak terkait dengan pertanyaan itu, tidak ada niat untuk spam :)